2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高一下学期期中数学试题

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2023.04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则虚部是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A. 8B. C. 8或D. 6
4. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错或不选的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B. 已知非零向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 为纯虚数
C. 的模长等于D. 的共轭复数为
11. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A. 在上是减函数
B. 由可得是的整数倍
C. 是奇函数
D. 函数在区间上有个零点
12. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车()的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则（ ）
A. 为的垂心B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若是虚数单位，，则___________.
14. 已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______.
15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．

16. 如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为__________，若、分别是边、的中点，则的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
18. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.
（1）求实数，的值；
（2）设的重心为，且，求的值.
19. 已知向量，，且函数.
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.
20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
21. 在三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角的对边分别为，为的面积，且选条件：
（1）求
（2）作使得四边形满足，，求的取值范围.
22. 对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
（1）设，，若函数是上“完美三角形函数”，求实数的取值范围
（2）在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．