2022-2023学年江苏省宿迁市泗阳县高一下学期期中数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由给定条件，求出，再利用二倍角的正切求解作答.
【详解】由，得，
所以.
故选：B
2 已知向量满足，，则
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
3. 如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．
【详解】过点作于点，过点作于点，
如图所示，在中，由正弦定理得，，
即，
，在中，，
又山高为，则灯塔的高度是
．
故选．
【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
4. 函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A. 9B. 12C. 0或9D. 0或12
【答案】C
【解析】
【分析】令，将函数零点转化成方程的根，再对进行分类讨论即可得到结果.
【详解】因为，令，得到，
当时，，得到，满足题意，
当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或.
故选：C.
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案.
【详解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因为，所以，故，
因为，所以，
的形状为直角三角形.
故选：B
6. 已知向量，，与平行，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算，根据条件求出，从而得到，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，
又与平行，故，得到，所以，此时，
所以，
故选：C.
7. 已知函数在上有两个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，得到，令，将函数零点转化成两函数图像的交点，再借助在区间上的图像即可求出结果.
【详解】因为，令，得到，
令，其在区间上的图像如图所示，
又函数在上有两个不同的零点，
由图知，，得到.

故选：D.
8. 设，，且，则（ ）
A. －1B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数取值范围，利用三角函数的关系式求出，，代入求出结果即可．
【详解】因为，所以，则，
同样，所以，
由于，当且仅当，时，满足条件中的关系式，
故，，即；，
故．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A，利用平方关系和正弦的二倍角公式化简即可判断出正误；对于选项B，利用余弦的二倍角公式即可判断出正误；对于选项C，先利用，再切化弦，利用正弦的差角公式、倍角公式及诱导公式即可判断出选项的正误；对于选项D，利用诱导公式得及余弦的和角公式即可判断出正误.
【详解】选项A，因为，故选项A正确；
选项B，，故选项B错误；
选项C，
，故选项C正确；
选项D，因为，故选项D正确.
故选：ACD
10. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1
B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2
C. 在方向上的投影向量的模为
D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标运算，即可求出，从而判断出选项A正确；对于选项B，三点共线转化成共线，再利用向量共线的坐标运算可求出，从而判断出选项的正误；对于选项C，利用投影向量的定义，直接求出在方向上的投影向量，从而求出模长，判断出结果的正误；对于选项D，利用数量积的定义和条件，得到，求出，再去掉共线反向时的取值，得出的范围，从而判断出选项的正误.
【详解】选项A，因为，，所以，又向量与垂直，所以，得到，所以选项A正确；
选项B，因为，，所以，又因为三点共线，所以，得到，所以选项B错误；
选项C，因为在方向上的投影向量为，模长为，所以选项C正确；
选项D，因为，，由，得到，即，
又由，得到，此时，与共线反向，
故，与的夹角为，所以与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是，
选项D错误.
故选：AC.
11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 有最大值D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由条件及正弦定理得，，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．
【详解】由及正弦定理得：，
对于A选项：，故A错误；
对于B选项：，故B正确；
对于C选项：
，其中，
有最大值，故C正确；
对于D选项：因为，,当且仅当时取等号.
所以，
两边平方得：，又，
化简得：，且，,
解得，
所以，即成立，故D正确.
故选：BCD．
12. 已知函数，若方程有四个不等实根（），则下列说法正确是（ ）
A. B.
C. D. 最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二次函数和函数的图像得出的图像，利用图像，结合条件，得到，，从而判断出选项A和B的正误；选项C，利用，得到，再利用，化简即可得到选项C正确；选项D，利用，，得到，再利用基本不等式和的范围，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为，易知，单调递减区间为和，单调递增区间为和，
其图像如图所示，因为方程有四个不等实根，
由图易知，，，
由二次函数的对称性得，
又，即，得到，所以，故选项A正确，选项B错误；
选项C，因为，，两式相加得，
即，又，得到，所以，故选项C正确；
选项D，，
当且仅当，即时取等号，又易知，所以取不到等号，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在上存在零点，则整数t的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】得到的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案.
【详解】在R上单调递增，由零点存在性定理可知，
，
由于，
故整数.
故答案为：1
14. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解．
【详解】，，
，，
．
故答案为：．
15. 如图，在斜坐标系中，O为坐标原点，x轴y轴相交成角，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作，在此坐标系中，已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】求出，由给定的定义用表示，再利用向量的线性运算，结合投影向量的意义求解作答.
【详解】依题意，，，，，
，，
因此向量在上投影向量.
故答案为：
16. 在中，若，，点在边上，为的平分线，的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用得到，再由条件得到，联立即可求出.
【详解】设，因为，又，，为的平分线，
得到，整理得到，
又的面积为，所以，得到，
联立，消得到，解得或（舍去）.

故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平方关系及和角的余弦公式计算作答.
（2）切化弦并结合差角的正弦公式求出，再不出的值作答.
【小问1详解】
由，，得，而，
则，
又，则，
所以
.
【小问2详解】
由，得，即，
由，得，
解得，则，
而，所以.
18. 已知是边长为2的等边三角形，AD是边BC上的中线，E为AD的中点，设，．
（1）试用基底，表示；
（2）设BE交AC于点F，求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义、向量的数乘运算即可得出；
（2）设，得出，然后根据，，三点共线得出，然后即可得出，从而可求出的值，然后根据数量积的计算公式即可求出的值．
【小问1详解】
如图，为的中点，为的中点，且，

；
【小问2详解】
设，则，
，，三点共线，，
，
，
，解得，
，且，，
．
19. 如图，在平面四边形ABCD中，，角，．

（1）若AB＝2，CD＝BC，求四边形ABCD的面积；
（2）求周长的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求解作答.
【小问1详解】
在中，，，由余弦定理得，
即，而，解得，
因此的面积，
在中，，，则是正三角形，其面积为，
所以四边形ABCD的面积
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
即，
即，当且仅当时取等号，则
所以当时，周长取得最大值.
20. 随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
（1）求h的值；
（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
【答案】（1）10； （2）14.
【解析】
【分析】（1）把给定的数据代入，解指数方程作答.
（2）由（1）求出函数关系，再由函数值求出自变量值作答.
【小问1详解】
在中，，
则有，整理得，即，解得，
所以h的值为10.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，即有，
取常用对数得：，解得，而，则，
所以服装价格降到60元每件时需要14天.
21. 已知满足，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）试问角C能否为直角？并说明理由；
（2）若为锐角三角形，且满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）不能为直角，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角余弦、差角的正弦公式化简，再利用正弦定理、余弦定理计算判断作答.
（2）由可得，结合（1）的信息及余弦定理列出不等式组，求解不等式组作答.
【小问1详解】
依题意，，
即，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，
因此，
而，则，即角是锐角，
所以角不是直角.
【小问2详解】
在中，由正弦定理及得：，由（1）知，
又为锐角三角形，则当且仅当都是锐角，即且，
则，即，同理，
因此，且，
整理得：，解得，
所以实数的取值范围是.
22. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式．
（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
（2）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，证明：．
【答案】（1）a，b，c，d的值分别为；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出作答.
（2）利用（1）的结论，求出，再利用和差角的余弦计算作答.
【小问1详解】
依题意，
，
因此，即，则，
所以实数a，b，c，d的值分别为.
【小问2详解】
函数在上有3个不同的零点，即方程在上有3个不同的实根，
令，由（1）知，而，则或或，
于是，则，
而，
所以.
【点睛】思路点睛：由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解.