2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一下学期3月月考数学试题

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1. 设命题，，则命题p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定即可得出结果.
【详解】由题意知，命题p的否定为：
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合B中元素范围，再求即可.
【详解】，又，
.
故选：B.
3. 若函数的定义域是，则其值域为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图像，从图像观察可得答案.
【详解】函数图像可由 图像向右平移一个单位得到，
如图所示:
，
结合图像可知，函数的值域为 .
故选：D
4. 方程的根所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用零点存在定理求出函数的零点所在的区间即可得方程的根所在的区间.
【详解】设函数，易知在上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的区间为，
即方程的根所在的区间为.
故选:B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.
【详解】函数，则，
即函数为奇函数，则A、B错误，当时，.故D正确
故选：D
6. 将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则可求得，根据正弦型函数值域的求法可求得结果.
【详解】图象上所有点横坐标缩短为原来的得：；
将向左平移个单位长度得：；
当时，，，
即在上的值域为.
故选：A.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数与指数运算得到，，，再根据对数与指数比较大小的应用结合不等式的性质应用得出，，即可得出答案.
【详解】，，，
，
，
，
，
，
故选：C.
8. 如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，
又因为，
所以，
所以当时，的最小值为，
即的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 给出下列四个关系式，其中不正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据，，进行化简可得结果.
【详解】由，
两式相加可得，故B正确
两式相减可得，故D正确
由，
两式相减可得，故A,C错
故选：AC
【点睛】本题考核从两角和与差的正弦公式与余弦公式，重在对公式的考查与计算，属基础题.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，，若与共线，则
B. 若，，则
C. 若，则一定不与共线
D. 若，，为锐角，则实数的范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D.
【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确；
B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误；
C选项：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误；
D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确；
故选：AD.
11. 已知函数，给出下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）的图像可以由的图像向左平移个单位得到
B. 是的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 直线与函数在上的图像有5个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平移法则得到A正确，计算，不是对称轴，B错误，的最小值为半个周期，C正确，画出图像知D正确，得到答案.
【详解】对选项A：的图像向左平移个单位得到，正确；
对选项B：时，，不是对称轴，错误；
对选项C：，，则的最小值为半个周期为，正确；
对选项D：当时，，如图所示画出函数图像，根据图像知正确.
故选：ACD
12. 定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时,,则（ ）
A. 的 图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 的值域为
D. 的实数根个数为6
【答案】BC
【解析】
【分析】由得的最小正周期为4，为偶函数得的图像关于直线对称，借助的解析式可画出对应图像，进而对选项逐一辨析即可.，
【详解】是定义在R上的函数, ，即的一个周期为4.
又为偶函数，可得，即的图像关于直线对称，
又，，
在上，时取得最大值1，或时取得最小值，
则的值域为，故C正确;
由，即，则的图像不关于点对称，故错误;
由，而关于对称且最小正周期为4，则也是对称轴，故B正确；
的实数根个数等价为与的交点个数,
由在的图像向右平移4个单位可得在的图像，得，
由可得，解得或,
即有直线与在有两个交点,
画出的图像和直线可得它们有 7 个交点,
所以的实数根个数为 7 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆一次所需的时间为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用周期公式：即可求解.
【详解】由，
单摆来回摆一次为一个周期，
由.
故答案为：
14. 若“，”是假命题，则实数取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”，是一个向量，它的模等于，若，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】分别计算两个向量的模长及夹角，代入计算即可.
【详解】，，则，
则，
则,
故答案为：2
16. 在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，点的横坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义求得，确定与x轴正半轴的夹角为,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】由题意得,
设与x轴正半轴的夹角为，则，
则与x轴正半轴的夹角为，
故点的横坐标为 ，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数和指数运算求解；
（2）由诱导公式求解即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知向量，．
（1）求；
（2）求及在上的投影向量的坐标；
（3），求m的值．
【答案】（1）
（2），在上的投影向量的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；
（2）根据向量坐标的线性运算求解的坐标，即可得；按照投影向量的定义列式求解即可；
（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m的值．
【小问1详解】
已知向量，，所以；
【小问2详解】
，
又在上的投影向量的坐标为
【小问3详解】
因为，所以，解得.
19 已知函数．
（1）化简；
（2）若锐角满足，求的值：
（3）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依据诱导公式化简即可；
（2）由第（1）问化简结果可知的值，结合为锐角，求出的值代入所求即可求出结果；
（3）由条件可知，求的值再根据角的范围判断正负可得出结果.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
因为，所以，且为锐角，所以，则
【小问3详解】
，即，，因为，所以，
则
20. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
【小问1详解】
，
，故余弦距离等于；
【小问2详解】
；
故，，则.
21. 已知函数（，且）．
（1）当时，在上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若，且在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）

（2）或或.
【解析】
【分析】(1)根据定义法证明函数的奇偶性和单调性，进而解不等式即可求解；
(2)根据题意求出函数的解析式，得函数的解析式，令，利用换元法可得函数在上有一个零点，结合零点的定义和二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，解之即可求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，关于原点对称，
则，
所以函数为奇函数；
，且，
，
由，得，
所以，
则函数在R上单调递增.
由，得，
即在R上恒成立，
则，解得，
故m的取值范围为.
【小问2详解】
，由解得，则.
所以，
令()，由(1)知，，
得，
函数在上有一个零点，即为函数在上有一个零点，
当时，，在上没有零点，不符合题意；
当时，方程在上有一个解，
设，由对勾函数的性质知，
函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以，或，且，
要使函数与图像有一个交点，需或或，
所以t的取值范围为或或.
22. 已知函数.
（1）求证：①；
②函数的零点个数为奇数；
（2）记函数的值域为A，若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围.
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①列式计算即可证明；②先确定1是函数的零点，再利用①的结论得到，由此即可证明函数的零点个数为奇数；
（2）计算出的值域，确定即是，说明时，存在至少两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可.
【小问1详解】
①，即；
②因为，所以1是函数的零点
因为,
所以若是函数的零点，则也是函数的零点，
若，则，
综上可知，函数的零点个数为奇数.
【小问2详解】
因为，
所以，即
因为至少有两个不同的，使得
所以至少有两个不同的，使得
因为，所以，
令，解得
所以