2022-2023学年江苏省徐州市第一中学高一下学期期中数学试题

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命题人：高一数学组 审核人：高一数学组
（满分：150分 时长：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的乘法可得结果.
【详解】由已知可得，则，
因此，.
故选：C.
2. 已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出原图形的面积，再由直观图的面积为原图形面积的得出该梯形的直观图的面积.
【详解】依题意，，，，所以，可知等腰梯形ABCD的面积为，根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的，所以该梯形的直观图的面积为.
故选：B.
3. 已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
【详解】由题意易知，，
而在上的投影向量为：.
故选：B
4. 已知，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.
【详解】因为，，
则
.
故选：A.
5. 圆木长1丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺? 这个问题的答案为（注:1丈等于10尺） （ ）
A. 18尺B. 17尺C. 16尺D. 15尺
【答案】C
【解析】
【分析】此题考察几何体侧面路径的最值求法，根据题意对侧面进行展开，利用两点之间线段最短求解.
【详解】如图为圆柱的侧面展开图，其中，，

所以，
因为，故A，B，D错误.
故选：C.
6. 已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.
【详解】由于 ，， ，
且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，

由于 ，
所以 ，，
故 .
故选：A.
7. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（ ）米.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，表达出，，结合，列出方程，求出答案.
【详解】设，则，，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
即，解得.
故选：A
8. 如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用面面平行的性质，通过平面平面，得出点在线段上，从而求出线段的最大值.
【详解】如图，
取的中点，取的中点，连接，，，所以，
又面，面，所以平面，
又为的中点，所以,
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因为是侧面上一点，且平面，
所以在线段上，又因，，
所以线段的最大值为.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 已知复数满足（其中是虚数单位），则下列说法中正确的有（ ）
A. 的最大值为3B. 的最小值为1
C. D. 有且只有两解
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数模的展开公式，得到复数的轨迹方程，即可判断出A、B选项；只有实数或者纯虚数平方等于实数，由此可判断C；根据复数模的展开公式展开求解即可判断D选项.
【详解】解：设，，
因为，
所以，点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的最大值为，最小值，，正确；
只有实数或者纯虚数平方等于实数，所以不一定等于实数4，错误；
由得，，
整理得，①，
因为②，
①②联立只有2解，正确.
故选：.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在△ABC中，，E为AC中点，则
B. 已知非零向量与满足，则△ABC是等腰三角形
C. 已知，若与的夹角是钝角，则
D. 在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用，表示出来再判断，对于B，由向量的加法法则判断，对于C，由题意可知，，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于D，如图，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积的万物复苏示运算求解
【详解】对于A，因为△ABC中，，E为AC的中点，
所以
,
所以A正确，
对于B，因为与是非零向量，所以所在的直线平分，
因为，所以，所以△ABC是等腰三角形，所以B正确，
对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由，得，得，当与共线时，，得，所以当与的夹角是钝角时，且，所以C错误，
对于D，如图，以为原点建立直角坐标，则由题意可得，
所以，所以，所以D错误，
故选：AB
11. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）

A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形
B. 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4
C. 勒洛四面体的体积是
D. 勒洛四面体内切球的半径是
【答案】BD
【解析】
【分析】最大的截面即经过四面体表面的截面，A不正确，计算，B正确，计算外接球的体积为得到C错误，计算勒洛四面体内切球的半径是，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，错误；
对选项B：如图2，设弧的中点是，线段的中点是，
设弧的中点是，线段的中点是，
则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心，
则，
，，
故，正确；
对选项C：如图3，由对称性可知内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，

如图4，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接，由正四面体的性质可知在上.
因为，所以，则.
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，错误；
对选项D：因为，所以，正确；
故选：BD.
【点睛】方法点睛：几何体的内切球半径求法点睛：
1.棱锥的内切球半径求法：设棱锥的体积V，S为几何体的表面积，内切球半径为r，
则；
2.根据几何体的结构特征，确定球心，再结合所给已知条件列方程求得内切球半径.
12. 如图，矩形中，AB=2，BC=1，E为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）

A. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
B. 存在某个位置，使得
C. 面积的最大值为
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，由三棱锥体积最大，推出平面平面，推出的中点为三棱锥的外接球的球心，从而得半径为，体积为，故A不正确；对于B，设交于，利用反证法推出这个错误的结论，可得B不正确；对于C，根据三角形面积公式得当，时，面积最大，计算可知，C正确；对于D，根据二面角和线面角的定义计算可得D正确.
【详解】对于A，在折起过程中，为定值，
故三棱锥体积最大时，高最大，此时平面平面，如图：
取的中点，的中点，
因为，，所以，
又因为平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
所以，则为三棱锥的外接球的球心，该球的半径为，
故该球的体积为，故A不正确；

对于B，连，交于，则为的中点，因为为线段的中点，所以，
因为，所以,
假设，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，所以，这样在中有两个直角，不可能，
故假设不成立，故不存在某个位置，使得，故B不正确；

对于C，设，则，
当且仅当时，等号成立，
而当时，，满足，即，.
故面积的最大值为，C正确；
对于D，因为，，，平面，
所以，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作，因为平面，平面平面，
所以平面，所以，
，，所以.故D正确.

故选：CD
【点睛】关键点点睛：涉及到外接球问题时，找到球心是解题关键.涉及到二面角和线面角时，根据定义作出一个平面角和线面角是解题关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是第二象限角，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果.
【详解】是第二象限角，，
，，
.
故答案为：.
14. 如图，在长方形中，，是的中点，沿AE将向上折起，使到的位置，且平面平面，则直线与平面所成角的大小为____.

【答案】
【解析】
【分析】为中点，连接，证明平面，确定即直线与平面所成角，计算得到答案.
【详解】如图所示：为中点，连接，

，为中点，故，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，即直线与平面所成角，
为等腰直角三角形，故.
故答案为：.
15. 在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用和的面积和为以及基本不等式求解.
【详解】
设的角，，所对的边分别为，则
在中，，的面积为，
所以，解得，
因为，所以，所以，
因为和的面积和为，
所以，解得，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
故答案：.
16. 已知函数，若实数满足对任意实数恒成立，则______.
【答案】####
【解析】
【分析】化简得到，根据中心对称得到恒成立，对比等式得到，，且，代入计算得到，得到答案.
【详解】，
，取，函数关于点对称，其中满足，，
故恒成立，又恒成立，
故，，且恒成立，即，
代入整理得到：恒成立，
当，时成立，即，，此时，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，恒成立问题，函数的中心对称的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据中心对称得到恒成立是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知不共线的向量、，其中．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的正切值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数的值；
（2）利用平面向量的数量积可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】（1）根据题意，向量与共线，可得，
；
（2），
所以，，
因为，则，因此，.
18. 计算：
（1）已知，求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）先求得,由,分子分母同除,再将代入求解即可；
（2）先化切为弦,通分后利用差角公式化简,再利用诱导公式和倍角公式化简求值即可.
【详解】解:（1）因为,
所以,
所以
（2）
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正切,正弦的和（差）角公式的应用,考查利用分式齐次式求值.
19. 已知向量（csx，sinx），=（csx，-sinx），函数．
（1）若，，求的值∶
（2）若，，，，求2a+β值．．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可；
（2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可.
【详解】解:（1）
由，可得，由，得，，
则；
（2）由可得，由可得，
则，
由，，可得csβ>0，
由，可得．
20. 在三棱柱中，，，.
（1）证明:；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)先由线面垂直得出,又因为是中点，可以得出结论；
(2)建系应用空间向量法求面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
设的中点为，连接
因为，所以，又因为且，
所以， 因为平面，且，
所以平面 ,因为 平面 ，
所以,又因为是的中点，
所以 .
【小问2详解】
在中，由余弦定理求得则
因为，所以，解得,
在和中，可知.
在中，，因此.
由(1)知，，且平面，且，
所以平面 .
以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
所以,
设平面的法向量为,
则 ,
,
令，得.
设平面的法向量为,
则 ,
即
令，得 ,
设平面与平面夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21. 如图，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上且不与端点重合，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带设儿童游乐场，为了安全起见，需在的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问：多大时，可使的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）km
（2）当时，的面积最小为
【解析】
【分析】（1）由已知可求得，根据余弦定理可求出.然后在中，求出的长，即可得出答案；
（2）设，在以及中，根据正弦定理表示出，根据面积公式得出，进而化简可得，然后根据角的范围，即可得出面积的最小值.
【小问1详解】
由已知可得，，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，所以，
所以，.
因此在中，有，，
所以防护网总长度为km.
【小问2详解】
设，，
则在中，有，，，
由正弦定理可得，，
同理，在中有，，
由正弦定理可得，
，
所以.
因为，
所以.
因为，所以，
当且仅当，即时，面积有最小值为，
此时.
22. 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形的三边长为，，，三个角大小为，，，球的半径为.
（1）求证：
（2）①求球面三角形的面积（用，，，表示）.
②证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据弧长公式即可求解.
（2）利用等面积法可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，，，
设，，的弧度数分别为，，，可知： ，
又因为：，，，
所以：；
【小问2详解】
①解：因为弧和弧夹角为，
那么两弧所在半圆所夹球面部分的面积为，
同理：弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为，
弧和弧所在半圆夹球面部分的面积为，
考虑，，极小状态和球面的对称性可知：
，
所以： ；
②由于，可知.