2022-2023学年江苏省徐州市树恩中学高一下学期第一次月考数学试题

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法的坐标运算、数量积的坐标运算、共线的坐标公式及模长的坐标公式依次判断即可.
详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C.
2 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值.
【详解】由，可得
则
故选：B
3. 若角，均为锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.
【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，
所以，.
故选：B
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可.
【详解】，，，解得：.
故选：B.
5. 在中，若，则－定是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，得到为钝角，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选：C.
6. 若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：C
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】设，则，故，故，则
故选：D
8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.
【详解】解：由题意可知，，
故选：B．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 下列三角式中，值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.
【详解】A选项,，故正确.
B选项，，故正确.
C选项，，故正确.
D选项，，故错误
故选：ABC
10. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是
B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若与平行，则在方向上的投影数量为
D. 若非零，满足，则与的夹角是60°
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，只是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，还需把使与同向的的值去掉；对于B，因为与共线，故与不能作为平面的一组基底；对于C，利用投影的定义判断；对于D，利用夹角公式判断
【详解】对于A,
因为与的夹角为锐角,
所以
若与同向，则（），
所以解得
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为, 故A错误.
对于B, 因为,所以向量, 即共线,
故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B正确.
对于C, 与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误
对于D, 因为, 两边平方得,
故
而向量的夹角范围为, 得与的夹角为, 故D错误.
故选: ACD
11. 下列化简正确的是
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.
【详解】中，，则错误；
中，，则错误；
中，，则正确；
中，，则正确.
故选：
【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.
12. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．
【详解】，A正确；
由向量加法平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；
，C正确；
，
在上的投影为，又，
∴在上的投影向量为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，向量，若，则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
14. =__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两角和正切公式化简即得结果.
【详解】
故答案为：2
【点睛】本题考查两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
15. 已知，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将题中两个等式平方，相加后利用两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，
两式相加得，
所以.
故答案为：.
16. 已知，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由结合题目中关系求得，同时除以即可求解.
【详解】，
，
则，
即，又，
则，则，
即，则.
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知非零向量和不共线．
（1）如果，，，求证：三点共线；
（2）欲使向量与平行，试确定实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算可得，知，由此可得三点共线；
（2）由向量平行可得，由此可构造方程求得的值.
【小问1详解】
，，
共线且有公共点，三点共线.
【小问2详解】
与平行，，
与不共线，，解得：或，.
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
【小问1详解】
解：因为，，
又，所以，
所以.
【小问2详解】
解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
19. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，即可求解；
（2），从而即可求解.
【小问1详解】
因为在菱形中，.
故，
故，所以
【小问2详解】
显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
20. 已知向量，，.
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）结合平面向量减法以及模长的坐标公式可得，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；
（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.
【详解】（1）因为向量，，
所以，
又因为，所以，
，
即，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
又因为，所以
所以
21. 如图，两座建筑物AB、CD的高度分别是9米和15米，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角．求这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．
【答案】米
【解析】
【分析】设米，求得，利用余弦定理列方程来求得.
【详解】设米，则，
在三角形中，由余弦定理得：
，
整理得，解得或（此时，舍去），
所以的长为米.
22. 已知函数.
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再代入求值即可；
（2）由的取值范围求出的取值范围，从而得到函数的值域，由，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：（1）， 所以.
（2）因为，所以，所以.
由不等式恒成立，得，解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质的应用，属于基础题.