江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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1. 的平方根是( )
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的定义和性质解答即可．
【详解】解：
故选：C．
2. 以下四个交通标志中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
3. 下列数据不是勾股数的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 8，12，16D. 9，40，41
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，②满足勾股定理．根据勾股数的定义求解即可．
【详解】解：A．，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；
B．，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意；
C．，所以8，12，16不是勾股数，此选项符合题意；
D．，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意；
故选：C．
4. 已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则为（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的知识．根据全等三角形的性质可得：与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边，由此即可得出正确选项．
【详解】解：∵与全等，
与3是对应边，与5是对应边，与7是对应边，
，
，
．
故选：A．
5. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BE=DFD. AD∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．
【详解】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
A．在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．
C．△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．
D．∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题关键是熟练运用判定三角形全等的方法．
6. 在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：在中，，
如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意；
如果添加条件，可判定等边三角形．故B选项不符合题意；
如果添加条件，不能判定为等边三角形．
例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形．
故C选项不符合题意；
如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，
∴PA=PB，
根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，
故可判断B选项正确．
故选B．
8. 如图，D为等腰的斜边 的中点，E为边上一动点，连接并延长交的延长线于点F，过D作交于G，交的延长线于H，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．利用证明，可判断①正确；由已知可得，但，可判断②不正确；利用证明，可判断③正确；无法证明出，可判断④不正确．
【详解】解：是等腰直角三角形，且点是斜边的中点，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
故②不正确；
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
故③正确；
由，
得，
又，
但没有条件证明，
故④不正确．
综上所述，正确的是①③．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. ﹣125的立方根是 __．
【答案】－5
【解析】
【分析】根据立方根的定义计算即可
【详解】因为，
所以-125的立方根是-5
故答案为：－5
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟知立方根的定义是解决本题的关键
10. 在数轴上表示的点与原点的距离等于__________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据绝对值的概念求解即可．
【详解】解：∵，
∴在数轴上表示的点与原点的距离等于，
故答案是：．
【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟悉相关性质是解题的关键．
11. 已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝_____．
【答案】9
【解析】
【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．
详解】∵＜，
∴4＜＜5，
∵a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．
12. 若，，，则的边上的高为______cm．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．利用的面积求出边上的高，再根据全等三角形的对应高相等可得边上的高等于边上的高，从而得解．
【详解】解：设边上的高为，
则，即，
解得，
，与是对应边，
边上的高为．
故答案为：4．
13. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】如图，由题意知：，，
，
，
在中
，
该学生头顶C到门铃A的距离为，
故答案为：5
14. 将一根长为75cm的木棒放入长、宽、高分别是50cm、40cm、40cm 的箱子中（如图），能放进去吗?答： ______（填“能”或“不能”）．

【答案】能
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．连接、，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后与比较大小即可．
【详解】解：如图，连接、，

由题意得：，，，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
能放进去，
故答案为：能．
15. 如图，已知△ABC是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝___________

【答案】135°.
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠BCA=60°，故∠ACD=30°，又AC=CD，得到∠CAD=，故可求出∠BAD的度数.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵∠BCD ＝90°
∴∠ACD=30°
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD=，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°
故填：135°.
【点睛】此题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.
16. 已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键．
【详解】①当和是两个底角时，
，
解得，
则底角为，
顶角为：；
②当是顶角，是底角时，
，
解得，
则，
∴顶角为；
③当是顶角，是底角时，
，
解得，
则，
∴顶角为．
综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或，
故答案为：或或
17. 如图，四边形中，，，则与的数量关系是_____．

【答案】（或）
【解析】
【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
作于点于点，则，由，得，则，所以，则，由勾股定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点于点，则，

故答案为：．
三、解答题：（本大题共 8 小题，共 64 分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再合并即可；
（）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；
本题考查了算术平方根，立方根和乘方，正确化简各数是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
．
19. 求下列各式中的x．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【小问1详解】
解：原方程整理得：，
则；
【小问2详解】
解：由原方程可得：，
解得：．
20. 已知：如图，点是的中点，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、线段中点的定义、平行线的判定等知识．
（1）点是的中点，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理证明；
（2）由全等三角形的性质得，则．
【小问1详解】
证明：点是的中点，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
∴．
21. 如图，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，及等腰三角形的性质得运用，熟练在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键；
（1）根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得出 ， ，再利用N是的中点，得出， 根据等腰三角形的性质得，
（2）根据等腰三角形的三线合一得出，利用中点求出、，由勾股定理求出即可．
【小问1详解】
， 分别是 、的中点，
， ，
，
为等腰三角形，
；
【小问2详解】
分别是 、的中点， ，，
，
，
由（1）得为等腰三角形，
，
在中，
．
22. （1）如图1，将两块全等的含的直角三角板拼接成一个，则是_____三角形，写出与的数量关系；

（2）如图2，将三块全等的含的直角三角板拼接成如图所示的四边形，连接，若，求的长．

【答案】（1）等边，；（2）
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
（1）由，证明、、三点在同一条直线上，而，则，所以是等边三角形，由全等三角形的性质得，则，于是得到问题的答案；
（2）由，得，由，，，根据勾股定理得，由全等三角形的性质得，则．
【详解】解：（1），
理由：，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：等边．
（2），
，
，，，
，
，
，
，
的长是．
23. 2023年9月5日，台风“海葵”在福建东山登陆，台风中心由东向西沿路线直插内地（如图所示）．市坐落在这条笔直路线的一侧点A处，到登陆路线的距离为600公里，假使台风中心P周围1000公里以内均能被台风影响；台风中心P以200公里/小时的速度在登陆路线上沿方向行进时，请问该市是否会受台风影响?若能，请求出该市总共影响多长时间?若不能，请说明理由．
【答案】该市能受台风影响，该市总共影响8小时
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．
由于600公里公里，得该市能受台风影响，假设从点开始受台风影响，到点不受台风影响，连接、，则公里，再由勾股定理得公里，则公里，即可解决问题．
【详解】解：该市能受台风影响，理由如下：
∵公里公里，
∴该市能受台风影响，如图，假设从点开始受台风影响，到点不受台风影响，连接、，
则公里，
公里，
公里，
∴该市受台风影响的时间为：(小时)，
∴该市能受台风影响，该市总共影响8小时．
24. 如图，在正方形的网格中，点A、B、C 均在格点上．
（1）若小正方形的边长为1，则______， ______．
（2）仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．
①在图1中，在上找一点E，使得是的角平分线；
②在图2中，点P为线段与网格线的交点，分别在线段上画M、N，连接，使得最小．
【答案】（1），
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，平行线分线段成比例定理推论，相似三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理等知识．
（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）①在边上取格点，连接，再根据网格图取的中点K，过点B和的中点K作射线交，即可求解；②取格点D，使，交网格线于点，取格点G，H，连接，使， 交于点N，连接交于点M，即可．
【小问1详解】
解：，；
故答案为：，
【小问2详解】
解：①如图，射线即为所求；
②如图，点M，N即为所求．

25. 如图，长方形中，点P在边上，分别以为折线将D、C向的方向折过去，使点D落在点E处，点C落在点F处；若P、E、F在一直线上．
（1） _______°；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长（用含a、b的代数式表示）．
【答案】（1）90 （2）5
（3）
【解析】
【分析】本题考查了代数式在图形中的应用，关键得用相似三角形和完全平方公式解答．
（1）根据折叠前后的对应角相等即可解决问题．
（2）用勾股定理即可解决问题．
（3）根据完全平方公式推导出的代数式．
【小问1详解】
解：根据题意，，，
，
即：，
，
，
故答案为：90；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，，
在中，，
在中，，
即：，
解得：，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
又，
，
即：，
又，
．