重庆市渝北区渝北区实验中学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，4B. 2，3，5C. 4，6，8D. 5，6，12
【答案】C
【解析】
【分析】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．
2. 下列标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
D、是轴对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3. 下列四个图形中，线段是的高的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：线段是的高的图是；
故选：C．
4. 如图，已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等即可得出结论．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴，
故选：A．
5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与，重合（），射线即是的角平分线；这种作法的理由是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．由三边相等得，即由判定三角全等．
【详解】解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故答案为：．
故选：A.
6. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，
A. 添加一个条件AB=DE，
又

故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又
故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD
又
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解.
【详解】解：等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角是；
故选：C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，熟练掌握上述基本知识是关键.
8. 如果一个等腰三角形周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（ ）
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 5cm或6cm
【答案】D
【解析】
【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm），能够组成三角形．
故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm．
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
9. 如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一，先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案．
【详解】解：由题意：为等腰直角三角形，点是的中点，
，平分，且，
，
，
，，
在和中，
，
，
A正确，不符合题意；
，
，
，
C正确，不符合题意；
，
，
，
，
为等腰直角三角形，点是的中点，
，
D正确，不符合题意；
无法得出，
B错误，符合题意；
故选：B．
10. 对多项式任意加一个或者两个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和互为相反数；
③所有的“加算操作”共有3种不同的结果．
以上说法中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，原多项式为，“加算操作”后为：，①，存在“加算操作”后使其结果与原多项式相等，从而进行判断；②假设存在原多项式与“加算操作”后的原多项式互为相反数，得到，由此进行判断；③列举所有“加算操作“后的结果，从而进行判断即可．
【详解】解：若原多项式为，“加算操作”后为：，
①，
存在“加算操作”，使其结果与原多项式相等，
故①中的说法不正确；
②若原多项式与“加算操作”后的原多项式互为相反数，
添括号后的符号始终为正，
不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和互为相反数，
故②的说法正确；
③所有的“加算操作”共有4种不同的结果：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
故③的说法不正确，
综上可知：以上说法中正确的个数为1，
故选：B．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 如图，在中，，则__________．

【答案】##130度
【解析】
【分析】利用三角形的外角的性质，直接计算即可．
【详解】解：由图可知：；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
12. 如图，是的中线，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线的性质即可求解．
【详解】解：∵是中线， ，
∴，
故答案为：．
13. 如图所示，，，直线垂直平分线段，交于点，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，利用三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：直线是的垂直平分线，
，
的周长
，
故答案为：．
14. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为8．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积等于_____．
【答案】12
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求得三角形面积．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC=3，
∵AB=8，
∴△ABD的面积=AB•DE=×8×3=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=CD是解题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
16. 如图，在中，，和的角平分线分别交于点，，若，，．则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当时，如图：
秒；
当时，如图：
，
，
，
，，
，
，
，
秒；
综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形，
故答案为：或．
18. 一个四位自然数M，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M为“三生数”．例如：，，是“三生数”；，，不是“三生数”．则最小的“三生数”是________；如果一个“三生数”M的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“三生数”M的十位与百位交换得到记，且为正整数，则符合条件的最大的M的值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本考查了二元一次方程的解；由题意得，百位上的数字+十位上的数字=3×(千位上的数字+个位上的数字)，根据最小的“三生数”的千位上的数字和个位上的数字都取1，求得最小的“三生数”；设千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，由题意得，，，根据的值最大，得出，，，，
【详解】解：由题意得，百位上的数字十位上的数字千位上的数字个位上的数字，
各个数位上的数字均不为，
∴最小的“三生数”的千位上的数字和个位上的数字都取，
则百位上的数字十位上的数字，
百位上的数字取，十位上的数字取，
，
∴最小的“三生数”是，
设千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，
由题意得，，，
，，
由于的值要最大，
，，，，即，则，
，符合题意，
故最大的的值是，
故答案为：，．
三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，26题12分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数．
【答案】∠A＝46°, ∠ACE＝44°
【解析】
【分析】先由三角形内角与外角的关系可求∠DBC，再根据三角形的内角和可求∠A，最后由直角三角形AEC可求∠ACE．
【详解】∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC=74°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°．
∵CE是高，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°-∠A=44°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系，利用此可计算其它角的度数，是一道基础题．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）画出图形见解析，、、的坐标为、、；（2）的面积为
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求面积即可求解．
【详解】解：（1）画出图形如下：
,
、、的坐标为、、；
（2）的面积为．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键．
21. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.
（1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）填空：在（1）的条件下，若，试说明.
证明：∵，，
∴ ① ， ② ，
∵，
∴ ③ ，
又∵平分，
∴2 ④ ，
∴ ⑤ ，
在和中，，
∴，
∴.
【答案】（1）作图见解析
（2），，，，
【解析】
【分析】对于（1），以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F；
对于（2），先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌（），
∴．
故答案为：，，，，．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等．
22. 如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，证明它们所在的三角形全等即可．根据平行线的性质可得；由可得．运用证明与全等．
【详解】证明：，
．
，
．
在与中，
，
，
．
23. （1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点，交于点，连接，将分成两个角，且，求的度数．
（2）如图2，中，、的三等分线交于点、，若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等边对等角，三角形的内角和定理；
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余列方程，解方程得到答案．
（2）设，，在和中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：的值，即可求得的度数．
【详解】解：（1）设，则，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
解得：，
，
则；
（2）设，，
在中，①，
在中，②，
解得：①②：，
．
24. 如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，进而证明，证明即可得证．
【详解】解：，
证明：∵点在线段上，，
∴，
在中，
∴
∴，
又∵
∴
又，即
在中，
∴，
∴．
25. 在中，平分，交于点．
（1）如图1，点为线段上一点，点，分别为，边上点，连接，，且满足，若，求的长度；
（2）如图2，延长至点，且满足，若，，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定；
（1）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）在上截取，连接，利用三角形内角和定理求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差及等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点作于点，于点，
平分，，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，在上截取，连接，
，，
，
平分，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
26. 在中，，．点为内部一点，连接，，．
（1）如图1，若，，求点到直线的距离；
（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；
（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；
（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论；
（3）作点关于对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．
【小问1详解】
解：过点作于，过点作于，如图，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即点到直线的距离为；
【小问2详解】
证明：延长交于点，过点作于点，
则，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，
则，，
，，
，
，
，
，且满足，
，
，
在和中，
，
，
，
即点在直线上运动，
当且仅当时，最短，即点与点重合，
如图，连接，
则，即，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．