（决胜中考）2024年江苏省中考数学常考题模拟卷（二）

这是一份（决胜中考）2024年江苏省中考数学常考题模拟卷（二），共31页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，窗棂即窗格，因式分解等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列四个选项中，为无理数的是（ ）
A．0B．C．D．﹣3
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．窗棂即窗格（窗里面的横的、竖的或斜的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种化纹，构成种类繁多的优美图案，下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（ ）
A．众数是B．中位数是C．平均数是D．方差是
5．如图，点D在的边的延长线上，且，若，， 则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
7．东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为、、，且；弯道是以点O为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．该段立交桥总长为672 mB．从G口出比从D口出多行驶192m
C．甲车在立交桥上共行驶22sD．甲车从G口出，乙车从D口出
8．如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接、，且满足，则的值可能是（ ）
A．6B．6.8C．D．
二、填空题
9．2023年3月26日，首届苏州马拉松比赛（全程马拉松里程为42195米）在最美江南的春色中燃情起跑，25 000名跑友穿越古今苏州．其中数字25 000用科学记数法表示为 ．
10．因式分解：3x3﹣12x= ．
11．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 ．
12．半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为 cm（结 果保留）．
13．若二次函数的图像与轴只有一个公共点，则常数的值是 ．
14．在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点D，连接按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为 ．
15．定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
16．如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．近年来网约车给人们的出行带来了便利．小明和数学兴趣小组的同学对网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，在甲、乙两家公司分别调查了10名司机的月收入（单位：千元），并将所得数据绘制成如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
(1)填空：__________，__________，___________．
(2)王乐的叔叔计划从甲、乙两家公司中选择一家去应聘网约车司机．如果你是王乐，你建议他选哪家公司？请说明理由．
19．为了积极贯彻落实“双减”政策，某校计划星期一至星期五开展一节课后延时学习服务，要求每位老师至少选择一天参加服务．
(1)若王老师在第一周随机选择了其中的一天，则王老师不在周五参加服务的概率是______．
(2)若李老师在第一周随机选择两天，求其中有一天是星期五的概率．
20．已知关于的不等式组无解，求的取值范围．
21．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在一条河堤的两岸共栽树9600棵．由于青年志愿者支援，实际每天栽树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成栽树任务，求原计划每天栽树多少棵？
22．如图，垂直于路边的灯柱高，与灯杆的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．（参考数据：，）
(1)求路灯距离地面的高度；
(2)求灯杆的长度．
23．如图，已知点是矩形中边的中点，连接．
(1)分别在、边上求作点、点，使得点关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求．
24．如图，已知中，，，是的外接圆，点在的延长线上，于点，交于点，是的切线，交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长度．
25．如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点．
(1)若，．
①当时，______；
②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由；
③若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，点运动的路径为______；
(2)若，．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合．
26．我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”．
(1)如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为______；
(2)如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求；
(3)如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．
题号
一
二
三
总分
得分
10名司机平均月收入（千元）
中位数
众数
方差
甲公司
6
6
1.2
乙公司
4
7.6
参考答案：
1．C
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：0，，﹣3都是有理数，是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算法则进行计算，然后做出判断．
【详解】解：A、正确，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
3．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项，既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．D
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数是8，
∴这组数据的中位数为8，故B不符合题意；
∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为8，故A不符合题意；
这组数据的平均数为，故C不符合题意；
这组数据的方差为 ，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形外角性质得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
6．A
【详解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米．
故选A．
7．C
【分析】由两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系图，在段行驶时间是8s，在段行驶时间是（s），通过计算可判断选项A和B；14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，可判断选项C和D．
【详解】解：由题意可得（m），
在段行驶时间是（s），（m）
，、、所对的圆心角均为
该段立交桥总长为：（m），A正确；
从G口出比从D口出多行驶：（m），B正确；
14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，
甲车从G口出，乙车从D口出，D正确；
甲车在立交桥上行驶时间：（s），C错；
故选：C．
【点睛】本题考查行程问题，解题关键是从到一定点的距离与时间关系图中分析出实际的行程以及所用的时间，根据路程速度时间，计算各段的长度；本题的易错点是y表示车到点O的距离，若y值不变即表示绕圆心O行驶．
8．B
【分析】考虑两个临界值，点P为边上一动点，若点P与点A重合， 最小，时，求得为满足条件的最大值；若点P在中点时， 最大，时，求得为满足条件的最小值．
【详解】解：动点P在中点时， 最大；
取临界值分两种情况：
（1）当动点P与点A重合时， 最小，当时，
，即
解得，
此时是满足题意的最大值；
（2）当动点P在中点时， 最大，当时，
在和中，
在上取一点E，使，
则，
设，则，，
，即
，
此时是满足题意的最小值；
综上所述：，即
选项中，仅B符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查临界值，当临界值取得最小时，对应线段取得最大值，当临界值取得最大时，对应线段取得最小值，特殊角的锐角三角函数需构造等腰三角形，得到含有的直角三角形，求出对应线段．
9．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．3x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．/0.5
【分析】根据几何概率的求法：落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为，其中阴影部分面积为，
∴落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．
【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长即可．
【详解】解： （cm），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算熟练记忆弧长的计算公式是，解答本题的关键．
13．
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且，求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴只有一个公共点，
∴，且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定，当抛物线与x轴有2个交点时，则；抛物线与x轴有1交点时，则；当抛物线与x轴没有交点时，则．注意：本题中函数是二次函数，则二次项系数不等于零．
14．
【分析】由作图可知，是的平分线，如图，过作于，由角平分线的性质可知，，由题意得，设，则，，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的平分线，如图，过作于，
由角平分线的性质可知，，
∵矩形的顶点D，O为线段的中点，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的的性质，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于理解题意．
15．
【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答．
【详解】解：如图，作，垂足为H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
16．
【分析】如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E，由题意易得，则有，设点A的横坐标为a，则纵坐标为，然后根据四边形的面积可进行求解．
【详解】解：如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点A的横坐标为a，则纵坐标为，
∴，
∵，
∴，解得：（负根舍去），
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．(1)9
(2)
【分析】（1）利用二次根式化简、负指数幂、三角函数值进行计算即可；
（2）利用分式混和运算规则进行化简即可．
【详解】（1）解：
原式
（2）解：
原式
【点睛】本题考查常见基础计算，包含二次根式化简、负指数幂、特殊角三角函数值及分式的化简，正确的计算是解题的关键．
18．(1)6；4.5；6
(2)甲公司，理由见解析
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【详解】（1）解：∵“6千元”对应的百分比为，
∴乙公司10名司机平均月收入（千元）；
乙公司的中位数为：，
由扇形统计图知甲公司“6千元”所占的百分比最大，即众数．
故答案为：6、4.5、6；
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲、乙两家司机的月收入平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司司机月收入的方差小，更稳定，所以选择甲公司．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式．
19．(1)
(2)
【分析】（1）一周有五天、王老师不在周五的可能性有4天，然后根据概率公式计算即可；
（2）列表可知共有个等可能的结果，王老师随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个，然后运用概率公式解答即可．
【详解】（1）解：一周有5天，王老师在第一周随机选择了其中的一天，不在周五的可能性有4天
则王老师不在周五参加服务的概率是．
（2）解：由题意列表如下：
由表可知，共有个等可能的结果，王老师随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴王老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为：，
即王老师随机选择两天，其中有一天是星期五的概率是．
【点睛】本题考查了用列举法、列表法求概率，理解题意、正确列表、做到不重不漏是解答本题的关键．
20．
【分析】先分别求出两个不等式得解集，再根据不等式组无解得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解得：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个不等式得解集是解题的关键．
21．600棵
【分析】设原计划每天种树棵，则实际每天种树为棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．
【详解】解：设原计划每天栽树棵，
则根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：原计划每天栽树600棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
22．(1)米
(2)米
【分析】（1）过点作，设的长度为，根据表示出，再根据列出方程求解即可；
（2）点作，先求出，再根据即可求出的长度．
【详解】（1）解：过点作，交于点．
设的长度为．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，
，
．
，
，
解得，
∴路灯距离地面的高度为．
（2）解：过点作，交于点，
则，．
，
，
．
在中，
，
，
答：灯杆的长度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）作出的角平分线，交于点P，点P即为所求；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
（2）连接，根据勾股定理求出，根据题意证明，即可得出的长度，设，则，根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：如图：点P、点即为所求；
（2）解：连接，
∵点是边的中点，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是正确画出图形和辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
24．(1)等边三角形，见解析
(2)
【分析】（1）如图：连接，先说明是的直径，则，即；根据是的切线可得，即；再根据结合直角三角形的性质和对顶角的性质可得，进而得到即可；
（2）根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得，根据是等边三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
如图：连接，
∵，，是的外接圆，
∴是的直径，
∴,
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的内接三角形、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质、定理是解答本题的关键．
25．(1)①；②不能经过点，见解析；③
(2)
【分析】（1）①当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可以得到，即可求解．
②假设经过点，可证明∽，有，然后设，，根据比例式建立二元一次方程，判断方程是否有符合条件的解，如无解，则说明不经过点，反之亦然．
③先设为,然后用②中的比例关系表示出路径，求得取最大值时相应点所在的位置，再求出从该位置运动到点时点所运动的路径，然后把两个路径加起来就点共运动的路径；
（2）设，根据（1）中的比例关系，求出关于的函数解析式，且的最大值小于等于，据此求出的取值范围；又根据和重合，得到、、均为直角三角形，然后根据勾股定理，建立关于的一元二次方程，相应，然后又可求出的取值范围，然后结合两个取值范围，最后可以求出的最终取值范围．
【详解】（1）解：①
∵
∴
∴
又∵
∴
故的长为2．
②假设过点，则有
∵，
∴，
又∵，
∴∽，
∴ ，
设，，
则有
整理得
，该方程无解，不存在这样的，
∴不能经过点．
③根据②中，，设，，
则有
当时，有最大值，
此时点为中点时，的运动路径为，如下图：
当从中点运动到点时，如下图，，
则的运动路径为
∴运动的总路径为：
故答案是．
（2）解：由（1）可知，
设，则
当时，有最大值
当点始终在线段上时，，则有
∴
，又，
∴
当在某位置时，点恰好与点重合，
则、、均为直角三角形，
在中，有，
又
∴
整理得：
∴
又
∴
故的取值为时，题中两个条件才成立．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系是求解这道题的关键．
26．(1)、
(2)8或18
(3)不存在，见解析
【分析】（1）过点作于点，连接，设,则，，，勾股定理得出，根据建立方程，解方程即可求解；
（2）设，则，过点作于点，勾股定理得出，根据新定义建立方程，解方程即可求解；
（3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点作于点，连接，
∵已知点的坐标为，点在轴上，，
∴，
设,则，
∴，
在中，
∵点是的“比例中点”，
∴，
∴
解得：或
∴或
当时，,，即；
当时，,，即，
（2）解：∵点是的“比例中点”，
∴
设，则，
如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴或；
（3）设点是的“比例中点”设等边三角形的边长为
∴
设，则，
如图所示，过点作于点，
∵中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴等边三角形有没有“比例中点”．
【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建立方程解方程是解题的关键．