2024年中考数学平面直角坐标系常考易错解答题专项训练

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(1)在x轴的正半轴上找一点Q，使（保留画图过程的痕迹）；
(2)已知，利用无刻度直尺作的高（保留画图过程的痕迹）
(3)求高的值．
2．如图1，在平面直角坐标系中，点，点的坐标分别为，，其中，满足：，
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，是的中点，为轴正半轴上一点，为上一点，若．求的度数；
(3)如图3，作的角平分线，再分别过点，作这条角平分线的垂线，垂足分别为，，试写出，与之间的数量关系，并证明．
3．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中m、n满足二元一次方程组．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)点P从点出发，沿y轴正方向运动，连接，设的长度为t，的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是的中线，点P从点E出发的同时，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，速度是点P速度的三倍，连接，若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，求此时点Q的坐标．
5．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
(1)在图中画出．
(2)连接，，，求的面积．
(3)连接，若点在轴上，且三角形的面积为8，请直接写出点的坐标．
6．已知，在平面直角坐标系中，轴于点，满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点．．

(1)填空：________，________，点的坐标为________；
(2)如图1，是线段上一点（不与端点重合），试猜想的值，并说明理由；
(3)如图2，点是一动点，以为边作交于点，连交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
7．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知．
(1)的长等于 ，的面积等于 ；
(2)将向右平移2个单位得到，则A点的对应点的坐标是 ；
(3)将绕点C按逆时针方向旋转后得到，则B点对应点的坐标是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知三点分别是，，．
(1)试在图中作出关于x轴对称的，并写出点坐标；
(2)在图中作出点P，使的值最小，且点P在y轴上．
(3)已知点，且直线轴，求D点的坐标．
9．平面直角坐标系中，O为原点，点，，．

(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
10．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．
例如：如图，点，则．
(1)若点、，则 ；
(2)点到坐标原点O的“极大距离”是 ；
(3)已知点，，O为坐标原点，求a的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．
(1)求点的坐标及四边形的面积；
(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．
12．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求的函数表达式；
(3)求折痕的长．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，为等边三角形，B在第一象限，点P坐标为，，以为边作等边（A，P，Q按逆时针顺序排列），作直线，交y轴与点M．
(1)求的长（用含m的代数式表示）；
(2)在点P的运动过程中，点M的位置是否会发生变化？ 若不变，请求出点M的坐标；若变化，请说明理由；
(3)随着点P的运动，Q点也在相应运动，则在运动过程中的最小值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为，，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
(1)的面积_______；
(2)若点恰好线段的垂直平分线上，求此时的值；
(3)当点在线段上运动时，在轴的正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，请求出的值并求出此时点的坐标：若不存在，请说明理由；
(4)连结，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：
(1)点的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
(2)当点在第三象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是 ；
(3)若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，边上有一点，且B、E两点之间的距离为5．

(1)求B的坐标（用含有的式子表示）；
(2)如图（1），若点在线段上运动，点在轴的正半轴上运动，当的值最小时，，请求出此时的值．
(3)如图（2），过点作于点D，C是延长线上一点，，连接交于点．
①求的值；
②若，，求．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）利用网格的特点画，且，再连接，与x轴交于点Q，则利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得答案；
（2）利用网格的特点取格点，连接交于点，从而可得答案；
（3）先利用割补法求得的面积，利用勾股定理求得的长，再利用等积法即可求解．
【详解】（1）解：如图，点Q即为所求作的点，满足，
；
（2）解：的高如图所示，
（3）解：，
，
∵，
∴．
2．(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据得到，则，再由推出，则，由此得到，则，再由，即可得到是等腰直角三角形；
（2）如图所示，在上取一点H，是的，连接，由等腰直角三角形的性质得到，，由此可证明，得到，进而可证明，再证明，即可得到；
（3）如图所示，过点O作交延长线于T，设交于G，则，证明，得到，再证明（平行线间间距相等），同理可得，则，根据，即可推出．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴（时分式无意义），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：如图所示，在上取一点H，是的，连接，
∵是等腰直角三角形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下：
如图所示，过点O作交延长线于T，设交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（平行线间间距相等），
同理可得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判断，平行线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了作轴对称图形，平面直角坐标系，割补法求面积；
（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可，然后根据所作图形可得点的坐标；
（2）利用割补法计算即可.
【详解】（1）解：如图所示，由图得：；
（2）．
4．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查解二元一次方程组，动点函数问题，全等三角形的判定：
（1）解二元一次方程组，求出m和n的值即可；
（2）分当P在上，在y轴正半轴上两种情况，利用三角形面积公式分别求解；
（3），若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则、或、，列出关于t的等式，求出t值，即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：
，得，
解得，
将代入得：，
解得，
∴，，；
（2）解：当P在上，即时：
，
当P在y轴正半轴，即时：
，
当时，不存在．
综上所述：
（3）解：∵Q的速度为P的3倍，
∴，
∵，
∴与为对应角，
∴只要、或、，则与全等，
∵为中线，
∴，
∴，
①，
∴，，
当时，同时满足，
∴，
∴；
②，
∴，
当时，同时满足，
∴，
∴，
综上可知，点Q的坐标为或．
5．(1)见解析
(2)的面积为6；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了作图−平移变换．
（1）利用P点和的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点，，的坐标；利用点，，的坐标描点连线即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t得到Q点的坐标．
【详解】（1）解：∵平移后对应点为，
∴，，；
如图，为所作；
（2）解：的面积
，
，
；
（3）解：设，
，，
，
∵三角形的面积为8，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
6．(1)6；4；
(2)，理由见解析
(3)的值不变，值为2．理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b的值，再根据，且C在y轴负半轴上，可得C的坐标；
（2）过点P分别作轴于点M，于点N，连接，根据，即可求解；
（3）由，证明结合已知条件可得，再利用三角形的外角的性质证明，得到，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，
由平移得：，且C在y轴负半轴上，
∴点C的坐标为；
故答案为：6；4；；
（2）解：，理由如下：
如图，过点P分别作轴于点M，于点N，连接，

∵轴，，，
∴，，
∴，
∴，
即；
（3）解：的值不变，值为2．理由如下：
∵线段是由线段平移得到，
∴ ，
∴，
又∵，
，
根据三角形外角性质，可得，，
∴，
∴；
所以的值不变，值为2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，三角形的外角的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．
7．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标系中勾股定理计算线段长，图形的面积，平移作图，旋转作图，熟练掌握勾股定理，旋转，平移的性质是解题的关键．
(1)先确定各点的坐标，利用勾股定理，图形分割法计算求解即可．
(2)先确定各点的坐标，利用右加原则，计算求解即可．
(3)先确定各点的坐标，利用旋转的全等性，计算求解即可．
【详解】（1）如图，根据题意，得：
，，，
∴；
∴,
故答案为：，．
（2）∵，
∴向右平移2个单位得到，此时即，
故答案为：．
（3）根据旋转方向，旋转的性质，得，
故答案为：．
8．(1)，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标的对称及其作图，线段和最小值的作图，平行坐标轴的点的坐标计算，
（1）根据横不变，纵坐标相反，确定对称点，后依次连接即可．
（2）作出点B关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即为所求．
（3）根据直线轴，得到，计算即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，，．
画图如下：
则即为所求，且．
（2）∵，，．
∴点B关于y轴的对称点，
连接，交y轴于点P，
则点P即为所求．
（3）∵，，直线轴，
∴，
解得．
故点．
9．(1)6；
(2)9
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键．
（1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可．
【详解】（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，，
∴
；
10．(1)4；
(2)2；
(3)或．
【分析】本题考查了新定义的应用以及平面直角坐标系，图形与坐标：
（1）根据“极大距离”的定义进行列式作答即可；
（2）原点O坐标为，再结合“极大距离”的定义进行列式作答即可；
（3）结合“极大距离”的定义，且点，，注意进行分类讨论，即可列式作答；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意：根据“极大距离”的定义，
则，，且，
∴；
（2）解：∵原点O坐标为，，
∴，，且
∴点到坐标原点O的“极大距离”是2；
（3）解：∵点，O为坐标原点，
∴，
∵，
则，
∵，
∴，
解得，
11．(1)，
(2)存在，或
(3)①正确，
【详解】（1），
．
点，点．
根据平移规律可得，
．
（2）坐标轴上存在点满足．
当点在轴上时，，
．
．
点的坐标为或；
当点在轴上时，，
．
．
点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或或．
（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，
．
．
．
．
．
①正确．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质求出，得到即可；
（2）在中，利用勾股定理求出，进而得到，可得点E、F的坐标，然后利用待定系数法求的函数解析式即可；
（3）利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，即为等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，，
由折叠得：，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
代入、得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）∵，，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、F的坐标是解题的关键．
13．(1)；
(2)点M的位置不变，点M的坐标为；
(3)的最小值为1．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而证出，然后利用证出，得出；
（2）由，得出，再根据直角三角形的性质即可求解；
（3）先判断出Q点在直线上，当时，有最小值，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵均为等边三角形，
∴．
∴．
在与中，，
∴，
∴；
（2）解：点M的位置不会发生变化，
∵，
∴，
∵点A的坐标是，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
（3）解：由（1）（2）知，点M的位置不变，且点M的坐标为；
∴Q点在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，，
∴，
即的最小值为1．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质、所对的直角边是斜边的一半和勾股定理和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
14．(1)；
(2)；
(3)，点坐标为或或，点坐标为或；
(4)或或．
【分析】（）先求出的长，再利用面积公式求面积即可；
（）根据垂直平分线性质和勾股定理求出的长，从而求得点运动时间；
（）根据全等三角形的对应边相等关系分为情况，求出点的坐标即可；
（）由勾股定理得根据、、三种情况分别求解即可，
本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用，正确求出符合条件的所有情况．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）如图，
∵点恰好线段的垂直平分线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴此时；
（3）当时，，
∴，，
∴此时，点坐标为或；
当时，，
∴，，
∴此时，点坐标为或；
综上可知：，点坐标为或或，点坐标为或；
（4）如图，
在中，由勾股定理得，
当时，此时；
当时，由（）得：，
当时，此时；
综上可知：或或．
15．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形变化——对称，
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可；
（3）根据点在第二象限，可知点在第一象限，进而可知也在第一象限，由，可得，可得结论．
【详解】（1）点的一次反射点为，二次反射点为；
故答案为：，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点，，中可以是点A的二次反射点的是；
故答案为：；
（3）如图，
∵，
∴，
∴与轴的夹角为或，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为或．
16．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据，且B、E两点之间的距离为6，即可得出B的坐标；
（2）作点E关于y轴对称点E'，过点E'作E'F'⊥AB，由垂线段最短可得此时，PE'+PF'的值最小，由直角三角形的性质可求BO=10，即可求解；
（3）①在线段上找一点F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质确定，即可得出结果；
②根据题意得出，，确定，利用三角形面积公式及①中结果即可求解．
【详解】（1）解：∵边上有一点，且、两点之间的距离为5，
∴B点的横坐标为，
∴点；
（2）如图，作点关于轴对称点，过点作，

由垂线段最短可得此时，的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①在线段上找一点F，使得，连接，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②B、E两点之间的距离为5．
∴，
∴，，
∴，
∴，
由图得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．