2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题
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这是一份2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题,文件包含江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题原卷版docx、江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共21页, 欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 总分:150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数为虚数单位模为( )
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数除法化简复数,即可得模.
【详解】,故模为.
故选:C
2. 已知向量,且两向量夹角为,则( )
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用数量积的定义即可得到答案.
【详解】,
故选:A.
3. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】,
故选:B.
4. 已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由边角关系知边长为对应角最大,应用余弦定理求其大小.
【详解】由大边对大角知:边长为对应角最大,,
所以.
故选:C
5. 设复数,则( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.
【详解】,则.
故选:A
6. 在中,若,则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理得,根据边角关系求目标式的值即可.
【详解】由题设,
所以.
故选:D
7. 若,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解方程得到,根据二倍角公式得到,再次利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】,解得,或(舍),
故,,解得或,
,故,,故,同理,
,解得或(舍).
故选:B
8. 在中,在上,且平分且.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线性质知,应用余弦定理、勾股定理知、,结合已知有即可得结果.
【详解】由题设,而,
所以,则,,故,
又平分,则,故.
故选:C
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列选项中哪些是正确( )
A.
B. 的最大值为1
C.
D. 复数可能为纯虚数
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量加法法则判断A;辅助角公式化简,结合正弦型函数确定最值判断B;应用二倍角正弦公式化简求值判断C;由纯虚数定义列方程组求参数即可判断D.
【详解】A:,正确;
B:,故最大值为,错误;
C:,正确;
D:若为纯虚数,则,显然无解,错误.
故选:AC
10. 下列选项中哪些是正确的( )
A. 当时,向量的夹角为锐角
B.
C. 在中,若,则此三角形为直角三角形
D. (为虚数单位)
【答案】ACD
【解析】
【分析】A应用向量夹角坐标表示列不等式求参数范围;B二倍角余弦公式求值即可;C应用正弦边角关系,三角形内角性质、三角恒等变换化简求得;D根据复数乘方及求化简左侧并求值.
【详解】A:由,
若为锐角,则,即,正确;
B:,错误;
C:由,即,
所以,而,故,且,即,正确;
D:由,又,
则,正确.
故选:ACD
11. 下列选项中哪些是正确的( )
A. 在任意三角形中恒成立
B. 在中,角所对的边长分别为,若,则,反之也成立.
C. 已知向量,则在上的投影向量为
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A应用三角恒等变换化简证恒成立,注意均不能为直角;B由判断;C根据投影向量的定义求在上的投影向量;D应用和角正弦公式化简分子即可.
【详解】A:由
,
显然,均不能为直角,对斜三角形成立,错误;
B:由正弦定理知,故,则,反之也成立,正确;
C:在上的投影向量为,正确;
D:由,
所以,错误.
故选:BC
12. 已知为坐标原点,点,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的运算法则结合和差公式计算得到ACD正确,举反例得到B错误,得到答案.
【详解】对选项A:,,正确;
对选项B:取,,则,,,,错误;
对选项C:,
,正确;
对选项D:,
,正确.
故选:ACD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.其中第16题共有2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为一空,每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 复数的共轭复数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由共轭复数的定义确定已知复数的共轭复数.
【详解】由共轭复数的定义知:的共轭复数为.
故答案为:
14. 在中,若,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用余弦定理计算得到答案.
【详解】,,故.
故答案为:
15. 已知等腰中,底边长为2,腰长为为所在平面内一点,则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】若为的中点,构建如下直角坐标系,令,,由并应用数量积的坐标表示求最小值即可.
【详解】若为的中点,构建如下直角坐标系,令,,如下图示,
由,则,
而,则,
所以,当时,的最小值为.
故答案为:
16. 中,已知,则__________,若将前面的条件中的改为,则__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】计算,,再利用和差公式计算得到答案;排除情况,计算,再根据计算得到答案.
【详解】,故,,
;
,则或,
,,
若,故,,故,
此时,不成立,排除,故,
;
,故
故答案为:;
四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知复数
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)法1:设,利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可;法2:应用复数除法求;
(2)利用复数除法化简即可.
【小问1详解】
法1:设,,
所以,则,故;
法2:;
【小问2详解】
由(1)知:
18. 已知点求
(1)的模;
(2)的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由,得到的坐标,进而得到的坐标求解;
(2)利用夹角公式求得,进而得到,然后利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
解:因为,
所以,
所以
.
【小问2详解】
因为,
所以,
,
所以,
.
19. 已知
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用两角和的正切公式求出,然后根据两角的取值范围即可求解;
(2)利用同角三角函数的基本关系得到,然后结合(1)的结论和两角和的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
,
,,.
【小问2详解】
由,
求得,
.
20. 在①,②三角形面积为2③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在,它的内角的对边分别为,且,__________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据正弦定理和余弦定理化简得到,,若选择①②得到,若选择③,计算得到,矛盾,得到答案.
【详解】由可得:,则,故,
若选择条件①:,
则三角形存在且;
若选择条件②:
为等腰直角三角形,,,
所以,且此时三角形存在;
若选择条件③:,则,由得,矛盾,
所以三角形不存在.
21. 已知在锐角中,定义向量且
(1)求角B;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用向量平行的充要条件和同角三角函数的基本关系可得,进而求解即可;
(2)结合(1)知,然后利用三角函数的图象和性质即可求解.
【小问1详解】
由得,
,,
【小问2详解】
由(1)知,
,
,,
,
22. 现某公园内有一个半径为米扇形空地,且,公园管理部门为了优化公园功能,决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所,如下图所示有两种情况可供选择.
(1)若选择图一,设,请用表示矩形的面积,并求面积最大值
(2)如果选择图二,求矩形的面积最大值,并说明选择哪种方案更优(面积最大)(参考数据,)
【答案】(1),矩形面积的最大值为
(2)矩形面积的最大值为,第一种方案更优.
【解析】
【分析】(1)计算出、关于的表达式,利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式,利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值;
(2)取中点,连接,设,设,其中,计算出、关于的表达式,利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式,利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值,与方案一中矩形的面积比较大小,可得出结论.
【小问1详解】
解:由题得,则,
则,
所以,,
所以矩形面积为
,
因为,则,故当时,即当时,
矩形的面积取最大值,且最大值为.
【小问2详解】
解:取中点,连接,设,如下图所示:
设,其中,由圆的几何性质可知,
,,
因为四边形为矩形,则且,
因为,则,且,所以,四边形为矩形,
所以,,即为的中点,
又因为,则,所以,,
所以,,
所以,,
所以,,
则矩形的面积为
,其中,
因为,则,
所以当,即时取最大值,矩形的面积取最大值,且最大值为
,
,则,所以第一种方案更优.
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