2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中数学试题

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】由已知得到，解出，对选项逐一验证即可.
【详解】由已知可得，即，
解得或
计算选项中的三角函数可得，
，，，
故选：B.
2. 在中，，则角C的值为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求得正确答案.
【详解】由正弦定理得，，
由于，所以为锐角，所以.
故选：B
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. -2B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求得，结合诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求解即可．
【详解】角的终边经过点，则，
即，解得，
．
故选：B．
4. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再求出模作答.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
5. 已知，且，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系代换，可得，根据的范围即可求解.
【详解】由，得
，
则，
即，得，
则，
得或，
又，所以，
故.
故选：B
6. 已知△ABC中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析得到∠AEB是与的夹角，利用向量基本定理得到，，利用向量数量积公式得到，，，从而利用夹角余弦公式求出答案.
【详解】由题意知：∠AEB是与的夹角，
，，
，
，
，
则．
故选：D．
7. 我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（ ）
A. 18B. 16C. 12D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，，结合条件即得.
【详解】由题可知，，
所以，，又，，，，
所以，，
解得，.
故选：A.
8. 已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
二．选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意先求出的值，根据正弦定理可推得，当，且时，有两个解，即有两个解.
【详解】A项：因为，所以.
由正弦定理可得，，无解，A错误；
B项：因为，所以.
由正弦定理可得，，只有一个解，B错误；
C项：因为，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，C正确；
D项：因，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，D正确.
故选：CD.
10. 在中，已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为，所以，
所以，
故选项A正确，
因为，所以
所以
，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故选项D正确，
由，
所以在中，因为，
所以，故B正确，
故选：ABD.
11. 已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 的虚部为
C. 若，则D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数和复数的模的概念，判断选项正误.
详解】对于A，复数不等比较大小，A项错误；
对于B，复数，是实部，是虚部，B项正确；
对于C，，所以，而，，不能得到，所以C项错误；
对于D，，，
，所以，D项正确；
故选：BD.
12. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若函数的最小正周期为，则
B. 存在，使得的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于原点对称
C. 若，当时，函数的值域为
D. 若在上有且仅有4个零点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据周期公式可判断A,根据函数图象的对称性可判断B，讨论函数在给定区间的最值可判断C,根据函数图象分析零点的分布可判断D.
【详解】由倍角公式可得：，
，可知：，所以A选项错误，
将图像向右平移得到，
该函数图像关于原点对称，则，
所以，当时，满足题意，B选项正确．
当时，，所以，
则的值域为，所以C选项错误，
，则，
因为函数有且仅有4个零点，
所以，解得，D选项正确．
故正确选项为:BD．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用复数的意义结合给定条件，列式计算作答.
【详解】复数的实部与虚部分别为，因此，解得，
所以b的值为2.
故答案为：2
14. 在中，已知，则该的形状为______________
【答案】等腰或直角三角形
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边化角，将已知条件化简求得，即可判断.
【详解】化为，
，，
至少有一个是锐角，，
或，或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形的形状，属基础题.
15. 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的正切可求三角函数式的值.
【详解】因为，
整理得到：，
故答案为：.
16. 如图在中，，，，为中点，为上一点.若，则______；若，则的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求得，计算出、的长，当时，可求得的值；计算得出，利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】因为，，，则，
当时，，此时；
，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：；.
四．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
17. 当实数m为何值时，复数是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
【答案】（1）；
（2）且；
（3）.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【小问1详解】
复数是实数，则，解得，
所以当时，复数是实数.
【小问2详解】
复数是虚数，则，解得且，
所以当且时，复数是虚数.
【小问3详解】
复数是纯虚数，则，解得，
所以当时，复数是纯虚数.
18. 已知，并且是第二象限角，求：
（1）的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用诱导公式、二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答.
（2）由（1）的信息，利用诱导公式及差角的正切求值作答.
【小问1详解】
由是第二象限角，，得，则，
所以
.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以.
19. 已知为的三内角，且其对边分别为，若.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由于，可求的值，结合，可求A的值.
（2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
整理得，
即：，
所以，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由，，由余弦定理得，
∴，即有，
∴，
∴的面积为.
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：、、.
20. 在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上．
（1）若，求；
（2）设，用x，y表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量相等列方程即可求得，进而求得
（2）利用向量相等列方程即可求得，进而求得
【小问1详解】
，，，
则，，
则
则，解之得，经检验符合题意
则
【小问2详解】
，，，
则，，
由
可得，解之得
则
21. ①在函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称，
②向量，；
③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的值；
（2）求函数在上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)选择一个条件，转化条件得，将代入即可得解；
(2)令,解得的取值范围后给赋值即可得解.
【详解】（1）选择条件①：
依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， 从而，，
又的图像关于原点对称，则，由知，
从而，
选择条件②：
依题意，
即有：
又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
从而，
选择条件③：
依题意，
即有：
化简得：
即有：
又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，
从而，
（2），则其单调递减区间为，
解得，令，得，
从而在上的单调递减区间为.
【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.
22. 在中，内角、、所对的边分别是、、，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，结合可求得角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，
因为、，且，所以，且，
所以，，
所以，，
则，即，
因为且，所以，且，
所以或（舍），故当时，．
【小问2详解】
解：，
因为，所以，则，
所以，.
所以的取值范围为．