2022-2023学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期3月阶段测试数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2. 已知非零向量，，，满足，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件及向量的数量积即可得解.
【详解】由，即，不能推出，
当时，，所以成立，
综上，是的必要不充分条件，
故选：B
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于一元二次方程，即可求得的值．
【详解】因为，
所以，即，
解得或，
因为，
所以.
故选：A．
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式及降幂公式化简即可.
【详解】，
故选：B
5. 已知，，其中．满足，则（ ）
A. B. C. 9D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】先利用求出，再利用向量加法坐标公式求出的坐标，从而利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】由已知，且，
所以，
所以或（舍去，），所以，
又，所以，所以，
故选：D.
6. 在中，点D在边AB上，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.
【详解】因为点D在边AB上，，所以，
所以，
记，，所以.
故选：C
7. 已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设出向量的坐标，利用数量积的夹角坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可.
【详解】设，由，得，即①，
因为，所以，又向量与的夹角为，所以，
所以②，由①②解得或，
又向量与向量的夹角为钝角，所以，所以，故，
故选：A
8. 如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据面积比得到，确定，，再根据计算得到答案.
【详解】两个半圆的面积之比为3，则半径之比为，即，
，故，
，，故，
，
，
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数m、n和向量、，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的运算法则依次计算得到答案.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，，不恒成立，错误；
对选项D：，正确.
故选：BD
10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求，，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故A正确，
对于BC,由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，
可得,由于互余，所以，故B错误，C正确，
对于D，，①，，②，且，，
,故，故D错误，
故选：AC
11. 关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期函数B. 在区间单调递增
C. 在有2个零点D. 的最大值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】，A正确，，B错误，考虑和，计算得到，，C正确，，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，，，错误；
对选项C：时，，即，；
时，，即，，正确；
对选项D：时，；
时，，错误；
故选：AC
12. 已知平行四边形，，，，点P满足，其中，，则下面说法正确的是（ ）
A. 当时，动点P的轨迹为BDB. 当时，动点P的轨迹为DC
C. 当时，动点P的轨迹长为3D. 动点P的轨迹所覆盖图形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】，则三点共线，A正确，，动点P的轨迹为，B错误，，轨迹为，长度为，C正确，面积为平行四边形的面积，计算D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则三点共线，，，故动点P的轨迹为BD，正确；
对选项B：时，，即，，动点P的轨迹为，错误；
对选项C：，则，分别为中点，则，即，，轨迹为，长度为，正确；
对选项D：动点P的轨迹所覆盖图形的面积为平行四边形的面积，为，正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 = ______________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：．
考点：两角和的余弦公式．
14. 已知向量，满足，，，则与的夹角为______．
【答案】####
【解析】
【分析】设与的夹角为，得到，解得答案.
【详解】设与的夹角为，，
则，解得，
，故.
故答案为：
15. 在梯形中，，，，，且，则AD的长度为______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用线线平行求出，再利用数量积定义求出AD的长度.
【详解】梯形中，因为，，所以，即向量与向量夹角为，
又，所以，所以.
故答案为：1
16. 已知平面向量，的夹角为，且，，，其中，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】计算，得到，计算最值得到答案.
【详解】，
，
当时，有最小值为，故的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）若，且，求的值；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，再根据和差公式计算得到答案.
（2），，计算最值即可.
【小问1详解】
，，故，
.
【小问2详解】
，
，则，故，
.
函数的值域为
18. 如图，在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．，设，．
（1）试用基底，，表示，，；
（2）若G为长方形内部一点，且，求证：E，G，F三点共线．
【答案】（1）；；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1），，，计算得到答案.
（2）设，代入数据解得，得到，得到证明.
【小问1详解】
；
；
.
【小问2详解】
，，，设，
，
即，解得，故，，
故三点共线.
19. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据弦切互化以及正切的二倍角公式即可求解，
（2）根据齐次式，弦切互化即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由正切的二倍角公式可得，解得，
【小问2详解】
20. 如图，某公园要在一个矩形景点的区域，水平铺设观光通道直角，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，设．
（1）试将EF表示为关于的函数，并写出定义域.
（2）问当取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度.
【答案】（1），定义域为；
（2）或时，EF最长，此时EF的长度为米.
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形中边角关系求得边长，进而得EF关于的函数关系式，由求出定义域；
（2）结合（1）化简可得，利用换元法，根据正弦函数性质即可求解.
【小问1详解】
由题意，，则，
因为H是的中点，且，所以，，
所以，
由于，，所以，
所以，即函数的定义域为.
小问2详解】
由（1）可知，，
因为，所以，所以，所以，
所以，当或时，即或时，最长为，
故或时，EF最长，此时EF的长度为米.
21. 已知边长为6的正六边形，P，Q分别是线段AB，AF上的点，且，，AD与PQ交于点O．
（1）若，，求的值；
（2）若，，且，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算及向量数量积的定义运算即可得解；
（2）结合角平分线定理，根据向量的线性运算分别以，为基底表示向量，即可得解.
【小问1详解】
如图，连接，交于，连接，，
在正六边形中，，,
当，时，，
所以
【小问2详解】
当，时，，
因为是的角平分线，
所以由角平分线定理知，，
所以,
因为四边形为菱形，所以，
所以，即.
22. 设，，，，
（1），求证：．
（2）已知，，且，满足，求的最大值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）切化弦，结合向量平行的坐标表示可证；
（2）将向量式化为三角函数，利用三个角的关系将目标式消去角，再由辅助角公式化简可得.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
所以
【小问2详解】
当至少有一个等于时，
当都不等于时，
由可得，
因为，所以
所以（*）
又因为，
所以
所以，即
则
所以，代入（*）得
其中，不妨取
则当时，取得最大值