2022-2023学年江苏省南京市大厂高级中学高一下学期3月月考数学试题

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1. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式及特殊角的三角函数值计算作答.
【详解】依题意，.
故选：B
2. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示列方程求参数k即可.
【详解】由题设，，可得.
故选：D
3. 已知、是方程的两根，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式计算可得.
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，，
∴；
故选：C
4. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.
【详解】根据题意：
又
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.
5. 在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先运用余弦定理求出角C，再运用辅助角公式求解.
【详解】由余弦定理知： ，由条件： ，
，即 ， ，
，
， 时取最大值1；
故选：B．
6. 已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用诱导公式结合条件即得.
【详解】因为，
所以，
故选：A.
7. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为、、，若，角A的角平分线交BC于点D，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理得：，则，由余弦定理可得：， ，所以，由，有，得，
因为，所以，，，，由余弦定理可得.
故选：D.
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
二．多选题（共4小题，每题5分共20分）
9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】由，，，求得，再逐项判断.
【详解】，
∴，
∴，
∴，，
，
∴与的夹角不是，
故选：BC.
10. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确：
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D错误；
故选：ABC
11. 在锐角三角形ABC中，下列命题成立的是（ ）
A. ，，则B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解
【详解】因为在锐角三角形中，所以，均为锐角
对于A，，得，，所以，；所以，A正确；
对于B，若，整理得，化简得，所以，，为钝角，与题意不符，B错误；
对于C，若，则，化简得
，因为均为锐角，所以，必有，得，符合均为锐角，所以，C正确；
对于D，因为均为锐角，得，所以，，
所以，，
所以，成立，D正确；
故选：ACD
12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A. 若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
B. 若，则△ABC为直角三角形
C. 若，则△ABC为锐角三角形
D. 若a2－b2＝bc，则A＝2B
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由正弦定理可判断；对B，化简可得可判断；对C，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断；对D，由正弦定理结合余弦定理可判断.
【详解】对A，因为，所以△ABC有两解，故A正确；
对B，因为，所以，，，故，故B正确；
对C，由可得，则，所以，故C为钝角，故C错误；
对D，，所以，所以，所以，，，所以，即，故D正确.
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.
【详解】由，
所以.
故答案为：
14. 已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】与向量同向的单位向量为，根据坐标形式求得向量及模长即可求得.
【详解】点，，
，可得，
因此，与向量同方向的单位向量为：
故答案为：
15. ___________．
【答案】
【解析】
【分析】结合诱导公式、辅助角公式和两角和差角公式，将非特殊角向特殊角进行化简运算，可得答案.
【详解】
故答案为：
16. 如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．
【答案】
【解析】
【分析】在中利用锐角三角函数求出，再由正弦定理求出，最后根据锐角三角函数求出；
【详解】解：中，，解得，
其中
，
在中，，
所以，由正弦定理得，，
故．
在中，，所以，估算该雕像的高度为米．
故答案为：
四．解答题（共6小题，共70分）
17. 设是不共线的两个向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
证明:因为，
而
所以，
所以与共线，且有公共点，
所以三点共线
【小问2详解】
因为与共线
所以存在实数，使得，
因为与不共线，
所以，
解得，.
18 已知向量，其中，且．求：
（1）求和的值；
（2）若，且，求角．
【答案】（1），;
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量垂直可得数量积为0可得，结合同角的平方关系求出；
（2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
即，．
代入，得，且
则.
【小问2详解】
∵，∴,
又，∴．
∴
.
19. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合；
【答案】（1）
（2）最大值为1，取得最大值时自变量的取值集合为．
【解析】
【分析】（1）首先利用三角恒等变形，化简函数，根据周期公式求周期；
（2）根据函数解析式，直接求函数的最大值，并根据函数性质公式，求自变量的集合.
【小问1详解】
函数
故函数的最小正周期为．
【小问2详解】
函数的最大值为，此时，，求得，．
故函数的最大值为1，取得最大值时自变量的取值集合为.
20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，且___________，求的周长.
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.
①；②的面积为；③.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首项根据正弦定理，可得，再根据三角形内角和以及诱导公式可得，由此可求出角大小；
（2）根据正弦定理，三角形面积公式，以及数量积公式可知三个条件任选一个条件，都可以得到，再根据余弦定理即可求出的值，进而求出的周长.
【小问1详解】
解：因，所以，
所以.
而在中，.所以，
∵，则.
【小问2详解】
解：由（1）可知，；
所以
若选①，即，则；
若选②，即，则；
若选③，即，则，所以；
故三个条件任选一个条件，都可以得到.
由余弦定理，得，
所以，则或（舍去），
所以的周长为.
21. 已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若﹐求；
（3）若，求k的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；
（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；
（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.
【小问1详解】
设，
由，且，得
，解得或
或
【小问2详解】
，
，解得
【小问3详解】
由已知，
又，
，
解得
22. 如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.
（1）若，，求；
（2）已知，记四边形的面积为.
① 求的最大值；
② 若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（直接写结果，不需要过程）
【答案】（1）3；（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理构造关于的方程，解方程求得结果；（2）①在和中利用余弦定理构造等量关系可得，根据三角形面积公式可得，两式平方后作和可得，当时，可求得的最大值；②由可知，根据①可知，的范围由的范围决定，求解出且，且为钝角、为锐角；根据的单调性可求得最小值，从而求得得到结果.
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得：
在中，，，
由余弦定理得：
即：，解得：
（2）①和中，由余弦定理得：
整理可得：
面积：，即：
即：
当时，即，时，

四边形面积的最大值为：
②
由①知：，则需研究的范围.
当增大时，增大，从而随之增大
所以，当趋于共线时，趋于，其中钝角满足
当减小时，减小，从而随之减小
所以，当趋于共线时，趋于，其中锐角满足
令，则在上递增，在上递减
并且，，
，即
【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.