2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期阶段检测(一)数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数式有意义及一元二次不等式的解法，结合并集的定义即可求解.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以.
故选：C.
2. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.
【详解】，
，
，
当，单调递增，
所以，所以.
故选：C
3. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简求出，进而求出在上的投影向量.
【详解】由题意得，
.
解得.
从而，b在a方向上的投影为.
故选：A.
4. 已知，，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】由于，所以，所以
由化简得，
两边平方得，
即，解得（负根舍去），
由于，所以.
故选：A.
5. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.
【详解】解：由题意可知，，
故选：B．
6. 已知函数的定义域为，值域为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简可得，画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解】

，
值域为，画出函数图象，
考虑一个周期内的情况，
则可得或满足题意，
所以，即的最小值是.
故选：C.
7. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A. B. 12C. D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：利用平面向量数量积的定义及运算律即可得解；
解法二：建立直角坐标系，将数量积最大值问题转化为线性规划问题求解.
【详解】解法一：由题意，
，
当且仅当，即同向时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
解法二：去除不必要的线条和图案，以E为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系如下图：
则有 ，设 ， ，
，其中 在圆D上，
令 ，则原问题转化为线性规划问题，求目标函数z的最大值，
显然当圆D与直线 在x轴上方相切时z最大，
即 ；
故选：A.
8. 若，函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.
【详解】因为（其中）．
令，因为，所以．
因为，且，所以，
故，即．
当时，单调递减，
因为，
所以．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律判断A、B，根据投影向量的定义判断C，根据向量共线的充要条件判断D.
【详解】解：因为、为非零向量，
对于A：若，则，即，
所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，即，故B错误；
对于C：向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D：因为、为非零向量，所以向量、共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使，故D正确；
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B. 在上单调递增
C. 在内有2个零点
D. 在上的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】由题得，
由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；
令，
得其增区间为，
所以在上单调递增，所以选项B正确；
令得，
得，又．
所以可取，即有2个零点，所以选项正确；
由得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
11. 对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，C选项，利用三角恒等变换的公式化简即可得到恒成立的不等式，对于B，D选项，利用特殊值排除即可.
【详解】对于A，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故A正确；
对于B，，
当，，，，故B不正确；
对于C，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故C正确；
对于D，，
当，，，，故D不正确.
故选：AC
12. 已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的面积是面积的
C. 若，，则
D. 若，，则当取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．
【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；
，B正确；
，， 是等腰三角形，，
是锐角，，
，
，C正确；
设，，
，
所以时，取得最小值，
此时， D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①函数的图象不过原点；
②对任意，都有；
③对任意，都有.
请写出一个符合上述条件的函数表达式为______（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，结合不过原点，即可写出函数的一个解析式．
【详解】由题意，根据②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，
再由函数不过原点，则满足的函数如
【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题．
14. 已知向量，则“”是“向量夹角为钝角”的____________条件．（从充要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要中选择）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】首先求解两向量为钝角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断充分，必要条件.
【详解】若向量夹角为钝角，则，得，
若两向量平行，有，得，
所以向量夹角为钝角，得且，
且，
所以“”是“向量夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件
15. 设，利用三角变换，估计在时的取值情况，猜想对x取一般值时的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算 的取值范围，数学归纳，猜想对任意x时 的取值范围.
【详解】当 时， ；
当 时，
， ；
当 时，
，
；
由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ；
故答案：.
16. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.
【详解】以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系如下图，设 ，
则 ， ，
即为平面内一点 到 三点的距离之和，
由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC为费马点时 最小，
将三角形ABC放在坐标系中如下图：
现在先证明 的三个内角均小于 ：
， ，
，
为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形，
点P必定在底边BC的对称轴上，即y轴上， ，
，即 ，
现在验证：
，
， ，同理可证得 ，
即此时点 是费马点，到三个顶点A，B，C的距离之和为 ，即的最小值为 ；
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；
【小问1详解】
因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以.
18. 设函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值和最小值并求出对应的x．
【答案】（1），
（2）最大值为，此时，最小值为，此时
【解析】
【分析】（1）首先化简函数，再利用三角函数的性质公式，即可求周期和单调性；
（2）根据求的范围，再求函数的最值.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函数的单调递增区间为．
【小问2详解】
当时，，
此时，可得，
综上，最大值为，此时，得
最小值为，此时此时，得．
19. 平面内给定三个向量，且．
（1）求实数k关于n的表达式；
（2）如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；
（2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为，
所以，即.
【小问2详解】
由（1）可知，，，由题意可知
因为，所以
又，，所以.
因三点共线，所以.
当且仅当时，取等号，即时，取最小值.
20. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.
（1）设，求三角形木块面积；
（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面积最大值为
【解析】
【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；
（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.
【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，
所以,
，
所以；
（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，
所以可只分析时的情况，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函数在单调递增，
所以当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.
21. 在中，已知，，且．
求的值；
求证：．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求的值．
利用同角三角函数基本关系式可求，由于在单调递减，且，，即可证明．
【详解】（1）由题意，因为，，
所以，所以
证明：因为，可得：，
，
，
又，所以，
在单调递减，且，，
，即得证
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式，以及余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力和转化思想，属于中档题．
22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值;
（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.
【小问1详解】
因为相邻两条对称轴之间的距离为
所以
又时，取最小值
则，
，
又，则
【小问2详解】
因为，所以，
则，，
则
则
【小问3详解】
是上动点，
，
又恒成立
设
，
易知在或处有最小值，在或处有最大值
所以当或时，有最小值
即当在或时，有最小值，此时或
为时，，
，得
又，则
为时，，
，解得
综上，