2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题

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时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：函数在上单调递减，
又，，，
所以，则有唯一零点，且在区间内.
故选：C
3. 已知，，，则等于（ ）
A. 12B. 28C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到.
【详解】
，
故.
故选：C
4. 已知函数，则的值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据的范围代入到对应的函数求值即可.
【详解】由题意可得，，
.
故选：D.
5. 在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知，向量，的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】由题知，，，向量，的夹角为150°，
所以.
故选：A．
6. 若，则为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】原式分子分母除以，即可求出，再利用两角和的正切公式，即可求得结果.
详解】由，
得，
则.
故选：B
7. 等式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，由三角函数的有界性得出等式右边的范围，解不等式可得的取值范围．
【详解】，则，
即，且，
化简得，平方得，即
解得
故选：C
8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72B. 74C. 76D. 78
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列叙述不正确的是（ ）
A. 若，则
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题：，，则命题的否定：，
D. 函数的最小值是4
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A．由不等式的性质验证；
对于B．解对数不等式，再判断；
对于C．由全称命题否定验证；
对于D．举反例．
【详解】对于A．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；
对于B．由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于C．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C正确；
对于D．当时，，故函数的最小值不为4，故D错误．
综上所述，选项BD不正确，
故选：BD.
10. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量相等、向量的模、向量的数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，是两个单位向量，
单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.
单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.
当时，，所以C选项结论错误.
故选：AC
11. 下列选项中其值等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
12. 瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量相等的定义可直接判断D；
根据题意可判断A；
根据重心性质可判断B；
利用向量数乘和加减法法则可判断C.
【详解】如图：
根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且.
对于A，∵，∴，故A正确；
对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，显然不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若三点共线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．
【详解】三点共线，
与共线，
，解得．
故答案为：．
14. 若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】设指数函数（且），将点代入求出解析式，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解.
【详解】由题意设函数（且），
因为的图象经过点，所以，解得，
所以，
因为，即，
所以由在上递减得，解得，
故答案为：
15. 赵爽是我国古代数学家､天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为49，若直角三角形较小的锐角为，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，求出，，即得解.
【详解】解：设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，
所以，即，解得或（舍去），
直角三角形较小的锐角为，可得，
所以.
故答案为：
16. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，E，F分别为边BC，CD的中点，则________；与夹角的余弦为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解.
【详解】以AD为x轴，以AC为y轴建立直角坐标系，则：
，，，故：
；
【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，计算向量的数量积以及夹角的求解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
（1）当时，求的值；
（2）当，，求向量与的夹角.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；
（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
向量，，则，
由，可得，
即，即，解得或.
【小问2详解】
由，，则，
由，可得，解得，
所以，，，
又，所以.
18. 如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，
（1）利用单位圆､向量知识证明：
（2）若，，，，求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积公式即可证明；
（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案．
【详解】（1）由题意知：，且与的夹角为，
所以，
又，，
所以，
故．
（2）且，则；
，则，又，，，
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．
19. 已知函数．
（1）当时，求关于x的不等式的解集．
（2）若，求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2）不等式因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集.
小问1详解】
时，，解得：，
故解集为；
【小问2详解】
时，，
变形为，
当时，，解得，
当时，解得，
当时，，解得，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
20. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，，且，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；
（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出.
【小问1详解】
解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，
所以，
.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
所以，由，可得，
所以
．
21. 已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；
（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.
【详解】（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时， 取得最小值，且最小值为，
所以.
22. 已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．
（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．
【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．
（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．
【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，
不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．
（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2xx∈[﹣1，1]上有零点，
即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，
即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，
令t=，则r=2t2﹣3t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，
r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），
∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．