2022-2023学年江苏省南通中学高一下学期第一次月考数学试题

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1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个向量，，若，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 若角的终边所在直线过点，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
4. 已知的面积为，，，则．
A. B. C. D.
5. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 20 mB. 30 mC. 20 mD. 30 m
6. 在中，若，，则一定是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 无法确定
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中，已知，，，为线段上一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量、、是平面内的非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 向量在上的投影向量为D.
10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，则角的大小为
11. 正方形的边长为2，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ）
A. 最大值为B. 最大值为1
C. 的最大值为2D. 最大值是
12. 在中，角A,B,C所对的边分别为，若，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 已知平面内两向量，，若，则的值为_____________．
14. 在中，角所对边分别为，，，，则______.
15. 设为锐角，若，则的值为____________.
16. △ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内动点，满足（）．射线BP与边AC交于点D．若，，则角B的值为_____________，△ABC面积的最小值为_____________．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知，，其中，是夹角为的单位向量．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值．
18. 已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 设函数．
（1）当时，求函数最小值并求出对应的；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围．
20. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
21. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
22. 如图，A､B是单位圆上相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域.