2024年中考数学圆常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学圆常考易错解答题专项训练，共36页。试卷主要包含了已知，如图1，点是的边上一点等内容，欢迎下载使用。

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，的半径为2，求阴影部分的面积．
2．如图点为半径为的内一点，为射线上一点，如果满足，则称两点为互为反演点，已知：如图，两点及两点分别为的互为反演点．
(1)求证：；
(2)中，，延长与相交于点，求证：是的切线．
3．如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形．
(1)求图中阴影部分的面积；（结果保留）
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径．
4．已知：中弦相交于点，连接，作直径，点与点不重合．
初步探索
（1）如图1，当时，解决下列问题：
①与是否相等？请说明理由；
②若，，，求的长；
进一步思考
（2）如图2，若是的2倍，求证：点在线段的垂直平分线上；
拓展应用
（3）如图3，若，上存在一个点，满足是的倍（说明：所对圆周角也是所对圆周角的倍），并且，求的值．

5．如图，在中，直径与弦互相垂直，垂足为E，以为邻边作矩形，其对角线的延长线交于点G．

(1)求证．
(2)若，，
①求的长；
②求的半径．
6．如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
7．如图，等腰的底边为的弦，与相切于点，，，在同一条直线上，，的延长线相交于，连接．已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，完成下列各题：

(1)在图1中，先画出圆心，再画的中点；
(2)在图2中，先在上画出点，使；再在弦上画出点，使．
9．如图，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
10．如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
11．如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
12．如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
13．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
14．如图1，已知，点O在射线BC上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．

(1)当与相切时，r的值是________．
(2)当时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转．
①当为________时，射线BA与相切；
②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积．
(3)当与的边只有两个交点时，r的取值范围是________．
15．已知点P是外一点，过P点作的切线，A，B为切点，的半径为r．
(1)如图甲所示，点D在优弧上（点D不与点A、点B重合），若，求的度数．
(2)如图乙所示，点D在上运动，当最大时，且四边形为菱形，求此时的度数．
(3)在（2）的情况下，设交于另一点C，求阴影部分图形的周长．（结果用含r的代数式表示）．
16．如图，锐角内接于，请仅用无刻度直尺按要求画图．

(1)在图甲中，以点B为顶点作一锐角，使之与互余．
(2)在图乙中，，点D、A在弦的同旁，过点A作一直线将的面积平分．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了扇形的面积的计算、切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质等知识点， 正确的作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键.
（1）如图：连接，可证得 是直角三角形，根据点 E 是斜边 AC 的中点，得到 ，由得，从而证得结论；
（2）由（1）已证，根据可得，即，在 中，可求得,进而求得长，最后根据求解即可 .
【详解】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
∵的半径为2，
∴，
∴
在中，，
∴．
2．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）由已知得，再利用相似三角形的判定，即可得出；（2）连接，即为半径，根据的度数，再利用，得出，从而得出，即可证明．
【详解】（1）两点及两点分别为的互为反演点．
在与中，
（2）连接．
在与中，
为半径，
是的切线．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定等知识，理解互为反演点的含义解决问题的关键．
3．(1)；
(2)1．
【分析】本题主要考查不规则图形的面积以及弧长的计算：
（1）根据求解即可；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据弧长计算即可．
【详解】（1）解：，
故阴影部分的面积为；
（2）解：设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得，解得，
故圆锥的底面圆的半径为1．
4．（1）①与相等；理由见解析；②；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）①证明，得出即可；②根据勾股定理求出，证明，从而求得，由①知与相等，所以，于是求得；
（2）取的中点，连接交于，再连接，根据是的2倍，得出，得出，根据，得出，从而证得，根据，，得出，求出，即可得出点在线段的垂直平分线上；
（3）在上取点，使，连接交于，根据，得出，根据，得出，求出，得出，即可得出，求出．
【详解】解：（1）①与相等．理由是：
如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，连接，
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
根据勾股定理得：；
（2）取的中点，连接交于，再连接，如图所示：

∵是的2倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上；
（3）在上取点，使，连接交于，如图所示：

∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
5．(1)详见解析
(2)①；②的半径为
【分析】（1）连接，设与交于点H．根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①证明，则，由垂径定理得到．可得到．即可得到答案；
②先求出．证明．利用相似三角形的性质即可得到．则，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，设与交于点H．

∵四边形是矩形，
∴，，，．
∴，．
∴．
又在中，，
∴．
（2）①解：∵，，
∴．
∴．
∵在中，直径，
∴．
∴．
∴．
②解：∵，
∴．
又，
∴在中，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
即的半径为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质并数形结合是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；
（1）由圆的基本性质得，从而可得，即可求证；
（2）①由圆的性质得，从而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的长，由即可求解；②由旋转的性质得，，从而可求，由三角形内角和定理得，等量代换得 即可求证；
掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：①是直径，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
②折线由折线旋转得到，
，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
点C，D，F三点共线．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，延长交于点，证明，得出，根据三线合一得出，进而根据切线的性质可得，进而可得，根据得出，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）连接，延长交于点，根据（1）的结论可得，根据得出，进而勾股定理求得，得出，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，延长交于点
∵，，
∴
∴
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴
∴，
在中，．
∴，
在中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
又∵
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，正切的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）首先根据题意得到的中点是的圆心M，进而利用网格的特点得到的中点；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可证明，然后根据网格的特点和圆直径的性质得到，然后利用勾股定理求出，证明出，即可得到．
【详解】（1）如图所示，圆心，点即为所求；

∵由网格可得，
∴
∴是的直径，
∴的中点是的圆心M，
∴由网格的特点可得，点N即为的中点；
（2）如图所示，

根据网格中对称的性质得到，
∴；
由网格的特点得，
∴
∵是直径
∴
∴
又∵，
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，圆中直角所对的弦是直径，勾股定理和全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点并运用．
9．(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作于F，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点O作于F，
则四边形为矩形，
有勾股定理得：
．
10．(1)详见解析
(2)10
【分析】本题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识．
（1）连接，根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明，得到，再根据圆的切线的判定定理即可证明是的切线；
（2）设的半径为，则，作于点，则，，可证得四边形是矩形，在中根据勾股定理列方程即可求出r的值．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
经过的半径的端点，且，
是的切线．
（2）解：如图，设的半径为，则，作于点，则，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
解得，
的半径长为10．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，由等腰三角形性质得到，对上述角进行等量代换，即可解题．
（2）本题设，在中，利用勾股定理求得，证得是等边三角形，得到，再根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：证明：如下图，连接，
直线与相切于点C，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，，，
，
，
点D为的中点，
又，
，
是等边三角形，
，
的长为．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形性质与判定、弧长公式，解题的关键在于熟练掌握相关的公式定理，并灵活运用．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证；
（2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解．
（3）过点作，根据平行线分线段成比例，求得，设的半径为，则，证明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线，
（2）如图，连接，
平分，
，
∴
，
，
，
，
是的直径，
，，
即，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，
由（2）可知，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果；
（2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值；
由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
即；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N；
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
设圆的半径的r，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键．
14．(1)；
(2)①或；②
(3)或
【分析】（1）当与相切时，，进而可得出答案；
（2）①需要分两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可；
②连接，，过点O作于点Q，由垂径定理可知，，进而根据三角形三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论．
（3）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线有两个交点；②在点D到达点B后，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴当与相切时，，
故答案为：；
（2）解：①如图，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接．

∵，，
∴，
∴，
∴．
如图，当射线在射线的下方与相切时，设切点为P，连接．

同理可得，，
∴．
综上所述，当为或时，射线与相切；
②如图，连接，，过点O作于点Q，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线有两个交点；
当圆O与相切于点G，连接，则，

∵，
∴，
∴， ，
即此时，
②在点D到达点B后，圆O分别与射线，有一个交点，
如图，当点D刚好于点B重合，

此时，
结合图形可知，r的取值范围为：或．
【点睛】此题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出的度数．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，利用切线的性质和四边形的内角和定理，求得，再利用圆周角定理即可求解；
（2）点D运动到距离最大，经过圆心，结合菱形的性质即可求解；
（3）分别求出的长，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图， 连接，
∵点D运动到距离最大，
∴经过圆心，

∵四边形为菱形，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∴，
（3）如图，∵，，为的切线，
∴，，
∵的半径为r，
∴，
∴，，
∵，
∴的长度，
∴阴影部分的周长．
【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的性质等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键．
16．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）作直径，连接，则，而为直径，则，可得，可得，可得即为所求；
（2）连接，交于，连接并延长交于，由，可得，则，连接，，则，可得是的垂直平分线，可得，则直线平分的面积．
【详解】（1）解：如图，作直径，连接，即为所求；
．
（2）如图，连接，交于，连接并延长交于，则直线即为所求作的直线；
．
【点睛】本题考查是无刻度直尺作图，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识并应用于画图是解本题的关键．