2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题

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时量：120分钟， 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数图象与直线（为常数）的交点最多有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
5. 已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（ ）
A. B. 2C. D. 4
8. 设函数，则的最小正周期（ ）
A. 与有关，且与有关B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关D. 与无关，但与有关
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，且，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为8
10. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）得到.
A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位
C. 先将各点横坐标变为原来倍，再向右平移个单位
D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍
11. 已知，下列关系可能成立的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 下列论断中，正确的有（ ）
A. 中，若为钝角，则
B. 若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数
C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称
D. 向量、、满足，则或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量满足，则与的夹角为__________.
14. 函数的对称中心中，到轴距离的最小值是__________.
15. 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是______.
16. 已知点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴，且在区间内单调，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围.
18. 如图，四边形中，，且.
（1）求实数值；
（2）若是线段上的动点，求的取值范围.
19. 对于实数、，定义，设，且关于方程为恰有三个互不相等的实数根、、，若，求的取值范围.
20. 如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
21. 求解下列问题：
（1）求证：；
（2）已知，求.
22. 悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.