2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高一下学期5月月考数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，且全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解.
【详解】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为，
则，，，
,
故选：.
2. 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的模长公式计算即可得出答案.
【详解】，
则.
故选：C.
3. 有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A. 65，76，82B. 66，74，82C. 66，76，79D. 66，76，82
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：，
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
4. 已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数乘的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，，
∴，，
∵分所成的比为，∴，即，
∴有，解得.
故选：D.
5. 在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较增长率.如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是（ ）
A. 2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量
B. 2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势
C. 2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月
D. 2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%
【答案】A
【解析】
【分析】求得2022年8月的原油产量与2021年8月的原油产量的关系判断选项A；求得2021年9月至2021年12月的原油产量的变化趋势判断选项B；求得2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份判断选项C；求得2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数判断选项D.
【详解】A选项，2022年8月的原油产量同比增长率为负数，
说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A正确；
B选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，
但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B错误；
C选项，2022年4月的原油产量同比增长率最高，故C错误；
D选项，因为，
所以2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数约为2.7%，
故D错误.
故选：A.
6. 若，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的性质可得,根据指数函数的单调性可得,由此可得答案.
【详解】因为,2>1,所以,
因为,所以指数函数为递减函数,
又-0.1<0.2,所以,即,
综上所述,.
故选:A
【点睛】本题考查了利用对数的性质,指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
7. 若一个圆锥和一个圆柱的轴截面分别是边长为的正三角形和边长为正方形，则这两个旋转体的侧面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知圆锥和圆柱的轴截面形状，分别得到圆锥、圆柱的底面半径和母线长，根据圆锥和圆柱的侧面积公式，即可求解.
【详解】圆锥轴截面是边长为的正三角形，
所以圆锥的底面半径为，母线长为，
侧面积，
圆柱的轴截面是边长为正方形，
所以圆柱的底面半径为，母线长为，
侧面积，
所以.
故选：B.
8. 在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：，化为，与．解出即可．
【详解】解：，
，
，
所以，
因为．
解得或．
因为，所以舍去．
．
故选：．
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 2021年开始，我省将试行“”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是（ ）
A. 甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多
B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理
D. 对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果
【答案】AB
【解析】
【分析】根据图表依次对所给选项进行判断即可.
【详解】根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中，物理、化学地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分、1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多,故A项叙述正确，C项叙述错误；B项，根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；所以对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果，故D项叙述不正确.
故选：AB．
【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到统计中雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道中档题.
10. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A. 非零向量，，满足且与同向，则
B. 若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，
C. 在中，若，则为等腰三角形
D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得，可判定B正确；由表示与的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C正确；当时，得到向量与向量的夹角为，可判定D项错误.
【详解】对于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，因为单位向量，的夹角为，可得，
则，
当且仅当时，取得最小值，最小值为，所以B正确；
对于C中，因为表示与的平分线共线的向量，
又因为，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，所以C正确；
对于D中，当时，此时向量与向量的夹角为，所以D项错误.
故选：BC
11. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，E是BC中点，则下列叙述不正确的是（ ）

A. 与是异面直线B. 平面
C. 与异面垂直D. 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面知A错误；假设平面，由线面垂直性质知为直角三角形，与已知矛盾，B错误；由异面直线判断方法可知为异面直线，由正三角形性质可知，结合平行关系知C正确；根据直线与平面相交可判断D错误．
【详解】对于A，平面，平面，与共面，A错误；
对于B，若平面，平面，则，即为直角三角形，
为直角三角形，与已知是正三角形相矛盾，B错误；
对于C，平面，，为异面直线，
为正三角形，为中点，，
，，C正确；
对于D，直线AC交平面于点A，又，所以直线与平面相交，故D错误.
故选：ABD.
12. 已知函数,下列说法正确的是( )
A. 若定义域为R,则B. 若值域为R,则
C. 若最小值为0,则D. 若最大值为2,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.
【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,
当时,恒成立,满足题意,
当时,则有,解得,
所以实数的取值范围为,故选项A错误；
对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，
当时,,不满足题意，
当时,则有,解得，
所以若值域为R,则,故选项B正确；
对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，
由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确;
对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,
由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确.
故选:BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案为:.
14. 某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为________分．
【答案】87
【解析】
【分析】根据各部分所占比例计算学生期末总评成绩即可.
【详解】小明期末数学总评成绩为：（分）．
故答案为：87．
15. 如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】连接MD，则，，
所以，
由于为等腰直角三角形，为线段上的点，
所以
因此，
所以，即最小值为.
故答案为：.
16. 已知三棱锥的各棱长都相等，，Q为AC上一点，且的最小值为，则该棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】先把侧面和展开到同一平面中，利用的最小值为求出三棱锥的棱长，再找到外接球的球心，利用勾股定理建立半径的关系，求出半径，进而求出体积.
【详解】将三棱锥的侧面和展开到同一平面中，
如图所示，设，则三棱锥的各棱长均为，

在中，，，，
由余弦定理得的最小值为：
，解得，
还原回三棱锥，如图所示，

设底面的中心为，外接球的球心为，
连接、、，则，，
设三棱锥的外接球半径为，
则，∴，外接球体积.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17. 已知在复平面内表示复数的点为.
（1）若点在函数的图象上，求实数的值；
（2）若为坐标原点，点A在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将点Z的坐标代入函数求解即可；
（2）根据题意可知，点Z在第二、三象限，据此列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.
又该点位于函数的图象上，
所以，
即，
解得或.
【小问2详解】
由题可知，点在第二象限或第三象限，
所以且，
即且且，
所以的取值范围为.
18. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值和第60百分位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
【答案】（1），85
（2）10人 （3）“美食”工作需要进一步整改，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布图，求得.然后推得第60百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案；
（2）根据分层抽样，即可求得评分在学生人数；
（3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案.
【小问1详解】
由图可知：，
解得.
因为，内的频率为，内的频率为，
所以，第60百分位数位于区间内，设为，
则，
所以，第60百分位数为85.
【小问2详解】
低于80分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）.
【小问3详解】
由图可知，认可程度平均分为：
，
所以，“美食”工作需要进一步整改.
19. 如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
20. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论．
【小问1详解】
证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以，
即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC，
因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC.
【小问3详解】
由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角，
在中，，在中，，
在中，，所以.
直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为.
21. 某校有高一学生1000人，其中男女生比例为，为获得该校高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4．
（1）计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；
（2）计算总样本方差．
【答案】（1）167；168
（2）37.5
【解析】
【分析】（1）根据男女生的样本均值计算样本均值；根据男女生的平均身高得到全校所有学生的身高总和，再求学生身高的平均值；
（2）根据男女生的样本均值和方差，直接计算样本总体的方差即可.
【小问1详解】
把男生样本记为，平均数记为，方差记为；
把女生样本记为，平均数记为，方差记为；
把样本数据的平均数记为，方差记为；高一全体学生的身高均值记为.
根据平均数的定义，总样本均值为：；
高一全体学生的身高均值为：；
【小问2详解】
根据方差的定义，总样本方差为：
，
由，可得：，
同理，.
因此，
所以，总的样本方差为.
22. 已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
（1）求证：是的生成函数；
（2）若是的生成函数，判断并证明的单调性；
（3）若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）函数在R上单调递增；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足，即可证明；
（2）由题意可得，由可得，结合单调函数的定义即可求解；
（3），且，设，则，由生成函数的定义可得，分两种情况讨论即可.
【小问1详解】
，且，
，
由，得，
则满足，
所以是的生成函数；
【小问2详解】
因为是的生成函数，
所以对任意区间且，使，
即，由，
得，又，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
【小问3详解】
，且，设，
则，，
当时，的值域为，
对任意区间且，使且，
满足，
即，
此时是的一个生成函数.
同理，当时，的值域为，
对任意区间且，使且，
满足，
即，
此时也是的一个生成函数.
综上：是的一个生成函数.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.