2022-2023学年湖南省长沙市南雅中学高一年级下学期期中数学试题

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考生注意：本试卷共4道大题，22小题，满分150分，时量120分钟.
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 复数，则（ ）
A. 4B.
C. D.
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. -5B. 5C. 6D. 7
3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
6. 攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
A. B. C. D.
7 关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
8. 已知函数，则关于不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）
9. 已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A. 复数的虚部为B.
C. 复数的共轭复数D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（ ）
A. B. 与所成的角为
C. D. 与所成的角为
11. 对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 当且仅当时，取得最小值-1
C. 图象对称轴为直线
D 当且仅当时，
12. 已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 设平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线，则“”是“”的______________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）．
14. 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biena）．已知在鳖臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球的体积为_________．
16. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.
四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知正方体．
（1）求证：A//平面；
（2）求证：平面．
18. 已知．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
19. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
20. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积最大值.
21. 在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上点，且平面ABD.
（1）求证：平面AEF；
（2）若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积.
22. 设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．