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2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题，文件包含湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题原卷版docx、湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
分值：150 时量：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A 40B. 50C. 80D. 100
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C 与D. 与
10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B不相互独立
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量满足，则
B 已知复数z满足，则
C. 已知平面向量，满足，则
D. 已知复数，满足，则
12. 将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）
A. 若二面角A−BD−C为60°，则AC=
B. 若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥BC
C. 若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行的平面截四面体A−BCD所得截面的面积为
D. 四面体A−BCD外接球的体积恒为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 ，则的最小值为________________．
14. ________．
15. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
16. 在△ABC中，角A，B为锐角，若，则的最小值是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
18. 如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．
19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
21. 滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中；、为游客通道(不考虑宽度), 且，通道、围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休憩.
（1）求的长度；
（2）记游客通道与 的长度和为，求的最大值.
22. 已知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．
分值：150 时量：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A 40B. 50C. 80D. 100
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C 与D. 与
10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B不相互独立
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量满足，则
B 已知复数z满足，则
C. 已知平面向量，满足，则
D. 已知复数，满足，则
12. 将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）
A. 若二面角A−BD−C为60°，则AC=
B. 若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥BC
C. 若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行的平面截四面体A−BCD所得截面的面积为
D. 四面体A−BCD外接球的体积恒为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 ，则的最小值为________________．
14. ________．
15. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
16. 在△ABC中，角A，B为锐角，若，则的最小值是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
18. 如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．
19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
21. 滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中；、为游客通道(不考虑宽度), 且，通道、围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休憩.
（1）求的长度；
（2）记游客通道与 的长度和为，求的最大值.
22. 已知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．
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