2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期第一次适应性检测数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知，则（ ）
A. 3B. 4C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】解：由余弦定理得，
因为，所以.
故选：B
3 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线得，则.
【详解】，，显然，，
故选：A.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，排除CD；
当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足.
故选：B
5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 8B. 17C. 20D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，展开后通过基本不等式求最小值.
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
6. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解.
【详解】依题意，设半球的半径为，
连接交于点，连接，如图所示：
则有，易得，
所以正四棱锥的体积为：
，
解得：，
所以半球的体积为：.
故选：C.
7. 已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个值的区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的单调性的性质，结合余弦二倍角公式、余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】因为是偶函数，故，由，得，由函数在上单调递增，得，则，即，所以，，
即，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以不合题意，选项B符合.
故选：B
8. 已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. D. 的一个周期为8
【答案】C
【解析】
【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C.
【详解】由题意知是奇函数，即，
即，即，
故的图象关于点对称，B结论正确；
又是偶函数，故，
即，故的图象关于直线对称，A结论正确；
由以上可知，即，
所以，则，
故的一个周期为8，D结论正确；
由于，令，可得，
而的图象关于直线对称，故，C结论错误，
故选：C
【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列结论正确的是（ ）．
A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底
C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为
D. 已知，i虚数单位，若复数为纯虚数，则
【答案】BC
【解析】
【分析】结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；
对于B，∵，为一组基底，∴，不共线，
∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B正确；
对于C选项，，两边平方得，，
所以在方向上的投影向量为，C选项正确；
对于D选项，复数为纯虚数，
则，解得，D选项错误，故选BC．
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D.
【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，
又因为正弦定理，所以，故A正确；
对B选项，由可得，
∴，为钝角三角形，故B正确；
对C选项，由可得，∴，
∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对D选项，由，
则，解得，
故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确.
故选：ABD．
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若O为△ABC的内心，，则
D. 若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由奔驰定理即可判断；
对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；
对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；
对D，由垂心性质及向量数量积垂直表示可得，
结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，
如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求
【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；
对B，，由得，故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则，，
又，
同理，∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 设函数​， 则​_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】由已知可得，则.
故答案为：.
14. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，再利用斜二测画法的特点及平行四边形的面积公式即可求解.
【详解】由直观图可知，在直观图中,正方形的对角线长为，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示
所以原图图形为平行四边形，底面边长为，位于轴的对角线长为，
所以原来图形的面积为.
故答案为：.
15. 已知命题是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题等价转化为，恒成立，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】命题是假命题，
即命题，是真命题，
也即在上恒成立，
令，
因为，所以当时函数取最小值，
即，所以，
故答案为：.
16. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果.
【详解】因为，则，，
又，
故由正弦定理可得：
又为锐角三角形，故可得，
解得，则，故，
即.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求实数t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可求出，再由向量的夹角公式代入即可得出答案.
（2）由题意可得，代入化简即可得出答案.
【小问1详解】
因为，
所以，即，所以，
所以，
又，所以．
【小问2详解】
因为，且，
所以．
即，解得．
18. 已知函数．
（1）求最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合周期公式即可求解；
（2）结合平移法则和诱导公式化简得，由余弦函数图象特征解不等式即可求解.
【小问1详解】
，故；
【小问2详解】
因为，向左平移个单位长度，
得到，
故要使，需满足，解得，故的解集为
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得出角B；
（2）由向量的运算得出，由余弦定理得出，进而得出，最后得出面积.
【小问1详解】
因为，所以.
即，即
又，所以.
【小问2详解】
由，得，则由平行四边形法则可得，
则，即①
又，即②
由①②可得.
则.
20. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.
（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】分析：（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求；
（2）根据声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可．
详解：
（1）
，
（2）由题意得 .解得：
，
答：当声音能量时，人会暂时性失聪.
点睛：该题属于应用函数去解决实际问题，体现了数学来源于生活且服务于生活，在做题的过程中，找准关键点，从而得知往哪个方向思考，本题的关键是利用题中的解析式建立关系.
21. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．
（1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
（2）当P在线段上移动时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可；
（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由已知可得，
由余弦定理有，得到．
在中，有，
．
【小问2详解】
将绕旋转到与同一平面（如图所示），
连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．
在中，，，，
故，故，即，
又易知，故，
由余弦定理得，所以，
（或者在中由勾股定理得）
故的最小值为．
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】（1）存在，或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，进而根据相伴向量的定义求解即可；
（2）根据三角函数的性质得，进而结合二倍角公式得，再令，进而结合函数值域求解即可.
【小问1详解】
因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
小问2详解】
的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.