2023-2024学年北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学试题

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知 ，那么 “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直所有面对角线的条数为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 在内单调递增B. 在内单调递减
C. 在内单调递增D. 在内单调递减
8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9. 算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
10. 若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为_______.
12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________.
13. 若函数， 对任意的都满足，则常数的一个取值为_______.
14. 在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为；下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_____.
15. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，，，则
①数列的通项公式___________；
②满足的最大正整数的值为_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△中，.
（1）求A；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．
条件①：；
条件②：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，是的中点，与平面交于点， .
（1）求证： 是中点；
（2）若为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
19. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.
20. 已知椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.求证：线段的中点为定点.
21. 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
（1）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
（2）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
（3）数列通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值．