2023-2024学年北京市朝阳区高三一模数学试题

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一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A 1B. C. 2D.
3. 已知平面向量，满足，，且与夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 设，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A B. C. 1D. 2
6. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知三棱锥，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
8. 已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：
①，；
②，；
③，，；
④，.
则上述数列中，8为其周期的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（ ）
（参考数据：，，）
A. B. C. D.
10. 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11. 计算________．
12. 已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则___________；___________.
13. 已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________.
14. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.
15. 在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点.给出下列四个结论：
① 的面积是；
②点的坐标是；
③在轴上存在点使；
④以为直径的圆与轴的负半轴交于点，则.
其中所有正确结论的序号是___________.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
17. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
18. 如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
19. 已知，.
（1）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；
（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由.
20. 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
21. 对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.
（1）若集合，，写出集合与；
（2）若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；
（3）设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.