冲刺2024年高考数学：计数原理与概率统计小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：计数原理与概率统计小专题特训，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．，，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（ ）
A．45B．55C．100D．900
3．古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（ ）
A．平均数B．方差
C．极差D．众数的个数
5．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（ ）．
A．240，32B．320，32C．240，80D．320，80
7．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川的六条航线.甲､乙､丙､丁､戊､已6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班.则不同的体验方案有（ ）
A．56种B．72种C．96种D．144种
8．展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
10．下列四个表述中，正确的是（ ）
A．设有一个回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大
D．具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，则之间的线性相关程度越高
11．用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）

A．B．
C．D．
三、填空题
12．在的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答）
13．小李准备下载手机，可供选择的社交有3个，音乐有2个，视频有2个，生活有3个，从上述10个中选3个，且必须含有社交以及生活的不同选法种数为 .
14．当时，有如下表达式：
两边同时积分得：
从而得到如下等式：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

参考答案：
1．A
【分析】根据圆内接正六边形的性质，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】任意连接6个点中的2个可得到15条线段，
其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或，
所以所得线段长度小于2的概率为.
故选：A
2．C
【分析】根据样本容量的定义得到答案.
【详解】因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100.
故选：C
3．A
【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，
共有种不同的调研方法，
其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为：
①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有种方法；
②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，
有种方法，共有种不同的调研方法，
所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为.
故选：A.
4．A
【分析】利用平均数、方差、极差、众数的意义判断即得.
【详解】依题意，，的平均数，
因此两组数的平均数不同，A是；
，的方差，
因此两组数的方差相同，B不是；
由于数据中的最大与最小，同加9后，在数据中对应的数仍是最大与最小，
因此两组数的极差相同，C不是；
显然数据中出现次数最多的数，同加9后，在数据中对应的数出现次数最多，
因此两组数的众数的个数不变，D不是.
故选：A
5．D
【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.
【详解】由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
6．B
【分析】根据图1得到小区的人数，结合图2，求得抽取的低层户主中满意的人数，得到答案.
【详解】由图1所示，可得小区共有（人），
则样本容量为（人）．
低层户主共有400人，满意率为20%，
故抽取的低层户主中满意的人数为（人）.
故选：B．
7．C
【分析】通过分别分析甲，乙和丙的方案，即可得出总共的不同的体验方案数量.
【详解】由题意，
共6个城市，3个方向，
甲不去沈阳､哈尔滨，有种方案，
乙和丙乘坐同一方向的航班，有种方案，
剩余3人有种方案，
故不同的体验方案有：，
故选：C.
8．A
【分析】将原式化为，根据二项式定理，分别求出展开式中，，的系数，即可得出结果.
【详解】的展开式中通项是，，
则，
要求展开式中的系数，只需，
故展开式中的系数是.
故选：A.
9．BCD
【分析】利用相邻与不相邻、有位置限制及定序的排列问题，列式计算判断即可.
【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误；
对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起，
与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确；
对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确；
对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】由线性回归方程的含义即可判断A，由残差的含义即可判断B，由卡方的性质即可判断C，由相关系数的定义即可判断D.
【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；
B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B正确；
C选项，观测值越大则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；
D选项，越接近于1，则之间的线性相关程度越高，故D错误.
故选：BC.
11．AD
【分析】利用分类计数原理即可得解.
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
12．
【分析】根据二项式，令即可得出所有项的系数和.
【详解】由题意，
在中，当时所求值即为所有项的系数和，为：，
故答案为：.
13．54
【分析】应用分类计数，结合组合数求不同选法种数.
【详解】因为要从10个中选3个下载，且必须含有社交以及生活，
所以可以分成两类：
第一类是：从3个社交及3个生活中各选1个，再从2个音乐和2个视频中再选1个，有 种选法；
第二类是：从3个社交中选2个， 再从3个生活中选1个，或者从3个社交中选1个和3个生活中选2个，有种选法；
所以从10个中选3个，且必须含有社交以及生活的不同选法种数为 (种).
故答案为：54
14．
【分析】根据题意利用题目提供信息可将原式逆写成积分形式，再由二项式定理解得求的结果.
【详解】注意到信息中的积分算法，所以逆写可得
；
易知，
因此，
所以.
故答案为：