湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期5月第三次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期5月第三次月考数学试题，共7页。试卷主要包含了 若，则“”是“”的， 已知正实数满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
一､单选题(共8个小题，每个小题5分，共40分)
1. 若，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
2. 若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A. B. C. 或D. 2
【答案】A
3. 已知，是两个不同平面，，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
4. 在△ABC中，O为中线AM的中点，若AM=2，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 复数,,i为虚数单位,则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 10B. 11C. 13D. 21
【答案】B
8. 祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
二､多选题(共4个小题，每个小题全对5分，选对不全对3分，共20分)
9. 一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A. “恰有1件次品”和“恰有2件次品”B. “至少有1件次品”和“都是次品”
C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品”D. “至少有1件次品”和“都是正品”
【答案】AD
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则A=B
C. 若，则；若，则
D.
【答案】ACD
11. 有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数且的图象恒过定点
C. 函数在上单调递减
D. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
【答案】BD
12. 如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面与平面所成二面角大小为
D. 直线与平面所成的角为
【答案】BCD
三､填空题(共4个小题，每个小题5分，共20分)
13. 若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差s2=_____.
【答案】
14. 若、、为空间中两两夹角为的单位向量，，，则______.
【答案】
15. 已知，则＝________.
【答案】
16. 如图，在三棱锥中，点B在以为直径的圆上运动，平面，垂足为，垂足为E，若，则三棱锥体积的最大值是_________．
【答案】
四､解答题(共6个小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分)
17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）若，求的值；
（2）若，，求△ABC的面积.
【答案】（1）；（2）.
18. 已知向量，，其中，函数，若函数图象两个相邻对称中心的距离为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
【答案】（1） (k∈Z)；（2）．
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，，AD//BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成角，点E是PD的中点.
（1）求证：BE⊥PD；
（2）求二面角P-CD-A的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
20. 近年来，以习近平同志为核心的党中央把生态保护放在优先位置，创新生态扶贫机制，坚持因地制宜、绿色发展，在贫困地区探索出一条脱贫攻坚与生态文明建设“双赢”的新路．下图是某社区关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，这200人的年龄区间为并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第2组恰好抽到2人的概率．
【答案】（1）；（2）平均数为；（3）.
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
22. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中．
①求的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．
【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米