02，浙江省杭州市文海中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份02，浙江省杭州市文海中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

答题时间120分钟 总分120分
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个选项是正确的，请选出正确的选项）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；
B项，不是二次函数，故本项不符合题意；
C项，不是二次函数，故本项不符合题意；
D项，不是二次函数，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中 ．
2. “清明时节雨纷纷”这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断，即可得到答案．
【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得，，进而可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
4. 端午节，妈妈给小慧准备了4个粽子，其中豆沙粽、蛋黄粽各1个，肉粽2个．小慧从中任取1个粽子，是豆沙粽的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据概率公式进行进行计算即可．
【详解】解：根据题意：任取一个粽子，是豆沙粽的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的简单计算，熟练掌握概率公式是解本题的关键．
5. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）

A. B. 3C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

∵正六边形ABCDEF内接于，
是等边三角形，
∵的周长是，
故选：
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【详解】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°-2∠ABO=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
7. 如图，弦垂直平分半径，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，先求解，再利用勾股定理求解，再利用垂径定理可得，从而可得答案．
【详解】解：连接，如图：
∵弦垂直平分半径，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．
8. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意得到二次函数的对称轴为，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
9. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．
【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半径，
即直径为，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质和平移，分情况讨论：或，根据抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系．由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键．
【详解】当时，如图所示：

由图象可得，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
由∵，
∴，，
当时，如图所示：

由图象可得，
∵抛物线
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 抛物线经过点，是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把点的坐标代入抛物线即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
故答案为：
12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13. 如图，中，弦，相交于点P，，，则__________度．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理，根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是__________米．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的顶点式即可求解．解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
【详解】∵，
∴时，y取最大值，
∴水珠可以达到的最大高度是14米．
故答案为：14．
15. 如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，连接，，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】过点D作，连接，，，
∵，
∴，
∵是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查不规则图形的面积，解题的关键是作出辅助线，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
16. 如图，以为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，于F．
（1）的长度为__________；
（2）当点E在圆G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，作，连接，由垂径定理得到，由为圆心，半径为4，得到，在中，，，，，则，，即可得到，则，由弧长公式得到的长度为；
（2）由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：（1）连接，作，连接，
∵，
∴，
∵为圆心，半径为4，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为，
（2）∵，
∴，
∵，
∴点F在以为直径的圆M上移动，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故答案为；．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、度角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题．
三、解答题（共8小题，总分66分）
17. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的基本性质得到，整理得到，即可得到的值，此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的外项之积等于内项之积是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在中，．

（1）作的外接圆（要求尺规作图，并保留作图痕迹）；
（2）求此外接圆半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别作和的中垂线，它们的交点O就是圆心，连接，以点O为圆心，为半径画圆即可；
（2）连接，根据的度数以及等腰三角形的性质得出为等边三角形，然后求出半径即可．
【小问1详解】
如图所示：即为所求的的外接圆；
【小问2详解】
连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即它的外接圆半径为．
【点睛】此题考查了三角形外接圆的作法、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，准确作图是解题的关键．
19. 如图，已知二次函数图象经过点和．

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，
（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【小问1详解】
解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
【小问2详解】
当时，，
∴
解得：，，
如图所示，

∴当时，．
20. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“琮琮”的概率是________；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率.（请用树状图或列表的方法求解）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查列表或画树状图求随机事件的概率，掌握列表或树状图计算随机事件的概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式即可求解；
（2）运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“琮琮”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点E．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答；
（2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则,结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可求出的半径为4，再利用三角函数求出，再利用即可求出答案．
小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵是的直径，且于点E，，
∴．
设的半径为r，则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角形函数、扇形面积公式等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键．
22. 小明的妈妈创办了一个微店商铺，营销一款儿童玩具，成本是20元/个，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该玩具的日销售量p（个）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78个，第4天销售了72个．该玩具的销售价格y（元/个）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（个）与时间x（天）之间的函数关系式，
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】（1）
（2）第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，
（1）设日销售量（盒与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可；
（2）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．
【小问1详解】
解：设日销售量（盏与时间（天之间函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
即日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设日销售利润为元，
；
，，且为整数，
当时，取得最大值，最大值是450；
在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式
（2）当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值．
（3）已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值．
【答案】23.
24. 或
25.
【解析】
【分析】（1）把点代入得，求出的值即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，可知顶点的纵坐标就是的最小值，分和，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出的最大值即可；
（3）由直线与抛物线存在两个交点，，且，即一元二次方程有两个不相等的实数根，则，，得到，由两交点到x轴的距离相等得到，即，解得．
【小问1详解】
解：把点代入，
得，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
当时；
当时，的最小值是，
当时，，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，随的增大而减小，当时，，
当时，随的增大而增大，当时，，
当时，∵时，的最小值是，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，将代入，
即，
解得：，
∴当时取得最大值，最大值为，
综上所述，当时，的最大值为或；
【小问3详解】
解：∵直线与抛物线存在两个交点，，且，
∴，即一元二次方程有两个不相等的实数根，，
则，，
，
∵两交点到x轴的距离相等，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数和一次函数的交点问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式和根与系数关系、分式方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；
（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB==26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，
则∠CAB=∠BDC=α，
∵点C为弧ABD中点，∴=，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；
（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，
∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；
（3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB，
∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴，
∵OH=5，∴BD=10，∴AB==26，∴AO=13，∴AH=18，
∵△AHE∽△ADB，∴，即=，∴AE=，∴DE=．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．