05，宁夏回族自治区银川市北京师范大学银川学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份05，宁夏回族自治区银川市北京师范大学银川学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，故选项不符合题意；，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共24分)
1. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．
【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；
正方体的主视图是矩形，不符合题意；
圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看．
2. 若关于的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则a的值为 （ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】直接把x=-1代入方程x2+3x+a=0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
【详解】把x=-1代入方程得1-3+a=0，
解得a=2．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3. 关于抛物线 下列说法正确的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份A. 对称轴为直线B. 与轴交于点
C. 与轴没有交点D. 当时， 随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
【详解】，
抛物线对称轴为直线，故选项A不符合题意；
当时，，所以图象与轴交于点故选项B不符合题意；
，
抛物线与轴有2个交点，故选项C不符合题意；
抛物线对称轴为直线，且开口方向向上，
当时， 随的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D
4. 如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．
设路宽为，修路后花园剩下的花园拼在一起是长方形，其长为，宽为，面积为，根据“使观赏路面积占总面积的，即修路后剩下花园面积占总面积的”即可列出方程．
【详解】根据题意，得，
即．
故选：B
5. 如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理，可得AC的长，再根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵BC=2，

故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、三角形的面积以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．
6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解题的关键；
直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项判断即可．
【详解】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故选：D
7. 如图，在中， 平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧交于点、 ；第二步，过 、 两点作直线，分别交、 于点 、；第三步， 连接、 ．若， ， ，则的长是（ ）
A. 12B. 11C. 13D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
8. 抛物线 的顶点为， 与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②当时， 随增大而减小； ③；④若方程 没有实数根，则； ⑤，其中正确结论的个数是（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
利用图象信息，以及二次函数性质即可一一判断．
【详解】解：二次函数与轴有两个交点，
，故①错误，
观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确，
抛物线与轴的另一个交点为在和之间，
时，，故③正确，
当时，抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根，故④正确，
对称轴，
，
，
，故⑤正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 在三角形ABC中，已知∠A，∠B满足，则∠C＝________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，进而可求得∠C．
【详解】解：由题意得，sinA＝，tanB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案：75°．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值、绝对值的非负性、平方式的非负性、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
10. 将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：，
即：，
故答案为：
11. 第24 届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4 日在北京开幕，在全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，并且对此次竞答活动成绩最高的小颖同学奖励两枚“2022北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022北京冬梦之约”的四枚邮票，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机选取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率____________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：

一共有种等可能的情况，小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的情况有种，
∴小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率是：，
故答案为：
12. 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：原方程为：
由题意得：，
解得：
故答案为：
13. 如图，为某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出奶油口味雪糕的数量是_____支．

【答案】150
【解析】
【分析】根据扇形统计图得到售出红豆口味的雪糕的数量和所占的百分比，求出冷饮店一天售出各种口味雪糕数量，计算即可．
【详解】解：由扇形统计图可知，售出红豆口味的雪糕200支，占40%，
则冷饮店一天售出各种口味雪糕数量为200÷40%＝500支，
则售出奶油口味雪糕的数量是500×30%＝150支，
故答案为：150．
【点睛】本题考查了扇形统计图，解题的关键是能够求出冷饮店一天售出雪糕的总量．
14. 如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为60°，点的仰角为45°，点到建筑物的距离为米，则__________米.
【答案】
【解析】
【分析】在中，根据，可求得，在中，根据等腰三角形的性质可得，再根据即可求得答案.
【详解】在中，，
则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识、准确找到直角三角形是解题的关键.
15. 如图是二次函数 图象的一部分，有下列4个结论： ①； ②；③； ④关于x的不等式 的解集是．其中正确的结论是_______
【答案】##③②
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
，，
，
，
故①错误，
抛物线与x轴有2个交点，
，故②正确，
抛物线的对称轴为直线，与x的交点坐标为，
当时，，
当，，
即，故③正确，
不等式 的解集是，故错误，
故答案为：
16. 如图, 正方形的顶点 的坐标为， 点 在反比例函数 的图象上， 点在反比例函数 的图象上，的中点在轴上，则的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，作轴，轴，设，证得即可求解．
【详解】解：作轴，轴，如图所示：
设
∵的中点在轴上，
∴
解得：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即：
解得：
故答案为：
三、解答题(共计72分)
17. （1）解分式方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
（1）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）方程两边同乘，得
，
解得，
经检验是原方程的解；
（2）由原方程整理可得：
解得：，
不等式组的解集为．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的乘除进行化简，再进行异分母分式相加减的运算，最后代入进行分母有理化求值即可．
【详解】原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
19. 已知三个顶点的坐标分别为，
（1）将向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请在网格中画出；
（2）以点O为位似中心，在第一象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标.
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，为所作；
【小问2详解】
解：如图所示，为所作，点的坐标为
【点睛】本题主要查了坐标与图形变换—平移和位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
20. 央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就对《主持人大赛》节目的喜爱程度，在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、 “不太喜欢”四个等级，分别记作 A、B、C、D．根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中被调查者“非常喜欢”等级所对应圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整，并标明数据；
（3）若选“不太喜欢”的人中有两个女生和两个男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两个学生了解不太喜欢的原因，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）补全统计图见解析
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用乘以“非常喜欢”对应的百分比即可；
（2）根据等级A的人数除以占的百分比求出调查的学生数，再求出等级B以及等级C的人数，再补全统计图即可；
（3）利用树状图列出所有结果即可得到所求的概率．．
【小问1详解】
扇形统计图中被调查者“非常喜欢”占，
圆心角的度数为
故答案为：
【小问2详解】
本题次被调查对象共有：（人），
“感觉一般”的人数有：（人），
“比较喜欢”等级的人数有：（人），
补充完整如图所示；
,
【小问3详解】
解：两名女生记为a、b，两名男生记为c、d，用树状图表示从四名学生中任取两名学生的情况如图所示：

从四名学生中任取两名学生的情况共有12种结果，而这两名学生恰好是一男一女的共有8种结果，
故所求的概率为．
21. 如图, 在 中, 点 为 的中点, 过点 作 的垂线交 于点 ，过点 作 交的延长线于点 , 连 结，．

（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟记菱形的性质是解题关键．
（1）由题意得垂直平分，可推出，根据可推出，结合“三线合一”可得，即可求证；
（2）根据菱形的性质可得，推出，求出，再根据即可求解；
【小问1详解】
证明：由题意得：垂直平分，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴四边形 是菱形
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形；
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴,
∴
∴
22. 如图， 一次函数 与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数 交于点 ，．

（1）请求出一次函数和反比例函数解析式：
（2）连接 ，，求出 面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将代入可得，进而得；将、代入即可求解；
（2）根据即可求解；
【小问1详解】
解：将代入得：，
∴
将代入得：，
∴
将、代入得：
，
解得：，
∴
【小问2详解】
解：如图所示：

∵，
∴令，则；令，则；
∴
23. 新春佳节，烟花因其安全、无污染开始走俏。某商店经销一种烟花，已知这种烟花成本价为每盒元，市场调查发现，该种烟花每天的销售量(盒)与销售单价(元)有如下关系： ．设这种烟花每天的销售利润为元．
（1）该种烟花销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）该商店销售这种烟花要想每天获得元的销售利润，又想卖得快，那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）种烟花销售单价定为元时，每天的销售利润最大，且最大利润是元
（2）销售单价应定为元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据确定与的函数关系式，即可求解；
（2）令，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得：
∴
∵，
∴当时，即：该种烟花销售单价定为元时，每天的销售利润最大，且最大利润是元
【小问2详解】
解：令，
解得：
∵
∴销售量随销售单价的增大而减小，
∴要想每天获得元的销售利润，又想卖得快，
应取
即：销售单价应定为元
24. 如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质得到，再利用三角形内角和定理和垂线的定义证明，即可证明；
（2）先利用矩形的性质得到，再由线段中点的定义得到，则可利用勾股定理求出，再由相似三角形的性质得到，据此代值计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形四边形是矩形，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键．
25. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．

（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?
（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
【答案】（1）不会，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键．
（1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断；
（2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：
∴
当时，
∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
【小问2详解】
解：由题意得，
∴直线的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差，
∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为
26. 如图， 在 中， ，，， 、分别是、的中点，连接．点 从点 出发，沿 方向匀速运动, 速度为1cm/s；同时，点 从点 出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，当点 停止运动时，点也停止运动．连接 ，设运动时间为s (0< ，解答下列问题：
（1） ；
当 时， ；
当时， (用含有 的代数式表示)；
（2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与 相似？
（3）当为何值时, 是等腰三角形？（直接写出答案即可）
【答案】（1），，
（2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查了几何中的动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
（1）根据、分别是、的中点，求出即可求解；
（2）由题意得为直角三角形，，分类讨论时，时，，两种情况即可求解；
（3）分类讨论时时时，三种情况即可求解；
【小问1详解】
解：∵，，，
∴
∵、分别是、的中点，
∴，
当 时，；
当 时，；
故答案为：，，
【小问2详解】
解：∵为直角三角形，
∴时，，
如图所示：
∴
即：，
解得：；
时，，
如图所示：
∴
即：，
解得：；
综上所述：当或时，以点、、为顶点的三角形与 相似
【小问3详解】
解：时：
如图所示：
，
解得：；
，
解得：；
时：
如图所示；作，
则：
∴
即：
解得：；
时：
如图所示；作，
则：
∴
即：
解得：；
综上所述：当或或或时，是等腰三角形