06，浙江省宁波市海曙区宁波市海曙区十校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份06，浙江省宁波市海曙区宁波市海曙区十校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了3元/份3， 下列说法正确的是， 如图，在⊙O中，，则的度数为等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.用心思考，细心答题，相信你一定会有出色的表现!
2.全卷满分120分，考试时间120分钟.
3.全卷由试题卷和答题卷两部分组成，请将答案做在答题卷相应的位置，写在试题卷上无效.
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 若，则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的性质先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
【详解】解：因为，
所以=，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握先化简，然后再整体代入进行求值计算是解题的关键．
2. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 拔苗助长B. 瓮中捉鳖C. 海底捞月D. 守株待兔
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件．根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、拔苗助长是不可能事件，不符合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，不符合题意；
故选B．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份3. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定求解即可．
【详解】解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
4. 由二次函数，可知下列说法正确的是（ ）
A. 其最小值为1B. 其图像的对称轴为直线
C. 当时，随的增大而增大D. 其图像与轴的交点为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【详解】解：二次函数，
，函数图象开口向下，函数图象的对称轴为，函数图象的顶点坐标是，函数有最大值为1，当时，随的增大而增大，当时，，其图象与轴的交点为，故选项不符合题意，符合题意．
故选：C
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦B. 不在同一直线上的三点确定一个圆
C. 直径是弦，弦是直径D. 长度相等的弧是等弧
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意；
C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在⊙O中，，则的度数为（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接OC，欲求∠BAC的度数，只需推知∠COB的度数即可．
【详解】解：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠ACB=50°，
∴∠OCA+∠ACB=50°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°．
∴∠COB=180°-50°×2=80°．
∵,
∴∠BAC=∠COB=40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得圆心角∠COB的度数是解题的关键．
7. 如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的知识，根据垂径定理可得，，连接，设，则，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，，
设，则，
在直角中，，
∴，
解得，，，即
∴，
故选：D．
8. 如图，在正方形中，为线段上一点且，连结，交于点，分别作，的中点M，N，连结，若，则为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质，理解三角形的中位线定理是解决问题的关键．连接，根据正方形的性质得过点，，进而可求出 ，，再证为的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出的长．
【详解】连接，如图所示：
∵四边形为正方形，为对角线，点为中点，
∴过点， ，
，
，
∵过点，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴ 为的中位线，
，
故选：B．
9. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；其中正确的个数为（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象系数的关系，二次函数的对称性，数形结合是解题的关键．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可得，，
，
，
，故①正确；
②抛物线的对称轴为直线，
，即，故②正确；
③由图可知时，，
，
，故③正确；
④图象过点对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
由图可知：当时，的取值范围是，故④正确；
故选：A
10. 如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质的概念是解题的关键．①首先利用平行线的性质得到，然后利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形的内角和定理即可解决问题；②利用中位线的性质即可求解；③利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证明即可求解；④连接，利用等积变化得到，再利用已知条件证明，由此即可求解．
【详解】解：①，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
②，为中点，，
，，
，
故②正确；
③为圆直径，
，
，
，
由①知，，
，
，
和中，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
④连接，

，
，
，
，
，
，
，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，共三个．
故选：B．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 一道你完全不会的数学选择题，你做对的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用，根据数学选择题有四个选项，且正确答案只有一个，即可求解.
【详解】解：∵数学选择题有四个选项，且正确答案只有一个，
∴一道你完全不会的数学选择题，你做对的概率为：，
故答案为：
12. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的表达式为：，
故答案为：．
13. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】四边形平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
14. 如图，在半径为2的扇形中，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长，折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质，得出阴影部分的周长等于扇形的周长，然后求出扇形的周长即可．
【详解】解： 由折叠的性质可知，，，
∵阴影部分的周长为：的长和弧的长，
又∵，
∴图中阴影部分的周长为：．
故答案为：．
15. 点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案．
【详解】二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得；
当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为；
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
16. 如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得，则点E在以为直径的上，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】连接，如图，
∵E是的中点，过圆心，
∴，
∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接，
∵点F是的三等分点，且靠近点B，
∴，
又∵，
∴是正三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.）
17. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是__________．
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，以及列表法或树状图求概率．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，
球上的汉字刚好是“杭”的概率就是．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种，
∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为．
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中标出的外接圆的圆心O的位置；
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查限定工具作图，掌握三角形的外接圆的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）作三角形两边的垂直平分线，交点即为点O的位置；
（2）根据位似图形或者根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【小问1详解】
如图，点O即为的外接圆的圆心；
【小问2详解】
如图，格点三角形与原三角形相似；
19. 如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接，，.
（1）求证：；
（2）若cm，求的值及阴影部分的面积.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，特殊角三角函数，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键．
（1）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：和的两个角相等，从而证得两个三角形相似；
（2）根据中位线定理和角的正弦求出，然后求出是等边三角形，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，为的直径，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接．
∵，
∴点F是AC的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
20. 已知某二次函数图象上两点坐标分别为；，与x轴的一个交点为，D为顶点坐标.
（1）求出该二次函数表达式
（2）求出的面积
【答案】（1）
（2）面积为3
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，
（1）设二次函数表达式为，利用待定系数法进行计算即可得，
（2）先求出顶点坐标，再计算即可得；
掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设二次函数表达式为，
∵二次函数过点，，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
【小问2详解】
解：∵，
∴顶点D的坐标，
如图所示，
∴
．
21. 如图，已知中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接，相交于点F.
（1）求证：
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键.
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得 ，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而在 中利用勾股定理可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后利用 （1）的结论进行计算，即可解答.
【小问1详解】
解：∵为直径，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
∵是的直径，
，
，
，
在 中，，，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
.
22. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元.
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价应定为30或40元
（3）销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
（1）根据题意，可以列出算式，然后计算即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得的最大值．
【小问1详解】
由题意可得，
当销售价为每件30元时，每天的销售量为：（件，
答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；
【小问2详解】
设销售单价应定为元，
由题意可得，，
解得，，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
【小问3详解】
由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，
答：销售单价为35元时，该文具每天销售利润最大，最大利润是2250元．
23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连结DE，若，求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连结，若，，，求的长．
【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连结，，若，，，，求的长．
图1 图2 图3
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，证明，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解；（3）延长交于点G，同（2），可得，再证明，即可．
详解】证明：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
解：（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
解得：（负值舍去）；
解：（3）如图，延长交于点G，
∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴
解得：（负值舍去）；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即（负值舍去）．
24. 如图1，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连结，设．
图1 图2
（1）用含的代数式表示．
（2）如图2，连结，交于点，若，求证：．
（3）在（2）的基础上，当，时，求出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，可得，从而得到再根据等腰三角形的性质得到，然后根据圆周角定理可得，从而得到，进而得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据已知条件得到，由（2）得，根据全等三角形的性质得到，延长交于点H，设，根据等腰三角形的性质得到
，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
，
∵，即，
，，
，
，
，，
∴，
∴，
，
∵，
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由（2）得，
，
延长交于点H，
，
，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
即
，．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．