71，内蒙古自治区包头市昆都仑区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份71，内蒙古自治区包头市昆都仑区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分，答题时，将答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 一元二次方程的根是（ ）
A. 或B. 或C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
详解】，
或，
∴，；
故选：．
2. 一元二次方程2x2-3x+1=0根的情况是（ ）．
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】把a=2，b=-3，c=1代入△=b2-4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根情况．
【详解】∵a=2，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3. 解一元二次方程x2-6x+2=0，用配方法可变形为（ ）
A. (x-3)2=9B. (x+3)2=9C. (x-3)2=11D. (x-3)2=7
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】
，
，
故选D
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4. 如图，，与交于点，已知，，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由于，可得出，根据，，可求出两个三角形的相似比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出它们的面积比，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及其应用．
【详解】∵，
∴，
∴与的相似比为，
∴与的面积比为，
故选：．
5. 如图，在中，，，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若，则EF的长度为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可．
【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E、F分别为AC，AD的中点，
∴EF==1，
故选B.
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理.能通过这几个定理找出题目中线段之间的数量关系是解决本题的关键.
6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的周长是（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的面积得出AC，进而利用勾股定理得出AB即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴
∴，
∴菱形ABCD的周长=20，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
7. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数的关系直接写出方程．
【详解】∵3-2=1，3×（-2）=-6，
∴根为3和-2的一元二次方程为：x2-x-6．
故选C．
【点睛】考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系（若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=-，x1x2=）是解决本题的关键．
8. 如图，在四边形中，E，F分别在和上，，且，则等于（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据题意列出比例式是关键．
9. 小明与小亮都是九（1）班的学生，在一次数学综合实践活动中，老师把全班同学随机分成四个小组，那么小明与小亮不在同一个小组的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，找到所有可能的情况和小明与小亮不在同一个小组时有多少种情况，列式求解即可．
【详解】解：设4个小组分别为A组，B组，C组，D组．
∴画树状图如下：
∴可能的情况有：小明A组，小亮A组；小明A组，小亮B组；小明A组，小亮C组；小明A组，小亮D组；小明B组，小亮A组；小明B组，小亮B组；小明B组，小亮C组；小明B组，小亮D组；小明C组，小亮A组；小明C组，小亮B组；小明C组，小亮C组；小明C组，小亮D组；小明D组，小亮A组；小明D组，小亮B组；小明D组，小亮C组；小明D组，小亮D组16种情况，
其中小明和小亮不在同一组的有12种情况，
∴小明与小亮不在同一个小组的概率=．
故选：C．
【点睛】此题考查了用树状图求概率的方法，解题的关键是根据题意找到所有可能的情况，并分析出不在同一组时有多少种情况．
10. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可．
【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 如图，已知于，于，是线段的中点，且于，，，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和线段中点的性质，根据相似三角形的判定及已知可得到，利用相似三角形的对应边成比例即可求得的长，熟练掌握相似三角形的判定与性质及其应用是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，解得：，
故答案为：．
12. 已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
【答案】-3
【解析】
【详解】试题解析：根据题意得：△=（2）2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，
解得：k=-3，
13. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为．
点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为_____．
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，∽，根据其相似比即可求解．
【详解】如图，

，
∽，
，
，
解得：（米）．
故答案为：米．
15. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________．
【答案】.
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出BO=3，CO=4，AC⊥BD，进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案．
【详解】∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC=，
∵OE⊥BC，
∴OE•BC=OB•OC，
∴OE=．
16. 如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．
【答案】1.5
【解析】
【分析】由折叠可得，．再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF的长，从而求出CF的长．设，则，在中，利用勾股定理列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】解：由折叠可知，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴在中，，
∴．
设，则，
∴在中，，即，
解得：．
故EC的长为1.5．
故答案为1.5．
【点睛】本题考查折叠性质，矩形的性质和勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. 解方程：（从配方法、公式法或因式分解法中选择两种方法解此方程）．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法、公式法或因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握解一元二次方程的方法．
【详解】配方法：，
，
，
，
或，
∴，；
公式法：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
因式分解法：，
，
或，
∴，．
18. 一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出个球，请用列表或树状图等方法求出两次摸到的球是个红球和个白球的概率．
【答案】（1）布袋里红球有个；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设红球的个数为，根据白球的概率可得关于的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到球是个红球和个白球的概率；
本题考查了概率，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．
【小问1详解】
设红球的个数为，
由题意得，，解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：布袋里红球有个；
【小问2详解】
画树状图如下：
一共有种等可能情况，其中两次摸到的球是个红球和个白球的有种，
∴两次摸到的球是个红球和个白球的概率为．
19. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变．
（1）求9、10这两个月的月平均增长率；
（2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？
【答案】(1)、25%；(2)、5元.
【解析】
【分析】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，从而求出x的值得出答案；(2)设当每袋降价m元时，根据题意列出方程，求出m的值得出答案.
【详解】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2=400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）．
答：9、10这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设当每袋降价m元时，根据题意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250，
解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去）．
答：当每袋降价5元时，获利4250元
考点：一元二次方程的应用
20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
【详解】解：（1），
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵DF⊥AC，
∴，
∵OC＝OD，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21. 如图，四边形是正方形，是上任意一点，于点，，且交于点．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用AAS证明△ADF≌△DCE，求得AF=DE，再利用线段关系求出DF-AF=EF．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
又CE⊥DG， AF//CE，
∴∠DEC=∠AFD=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDE+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，
∴DF- DE =EF，
即EF=DF−AF．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的识别图形是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，
∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，
∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，
∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB=10，BC=12，
∴，
∴BP=．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
23. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．
【答案】（1）；（2）①四边形AEMF为菱形；②；（3）．
【解析】
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到 = = ，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．
【详解】（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四边形ECBF=3S△EDF，
∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴=（）2，即（）2=，
∴AE=；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴ = = ，解得x=，CM=，
在Rt△ACM中，AM= = = ，
∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，
∴EF=2× =；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，
∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，
在Rt△BFH中，BF==2，
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，
∴
．
考点：三角形综合题.