87，山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

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（时间：120分钟 分值：130分）
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，分式的个数为（ ）
；
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的定义对每个代数式判断即可．
【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
含有等号，是方程，不是分式，
，，分母中含有字母，因此是分式，
故选：．
【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的概念是解题的关键．
2. 下列运算中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份能为0．
【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项正确，不符合题意；
D、，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
3. 下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），分别判断得出即可.
【详解】解：A、a2b2-1=（ab+1）（ab-1），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
B、4-0.25a2=（2-0.5a）（2+0.5a），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
C、-x2+1=（1+x）（1-x），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D、不能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
故选D.
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练利用平方差公式是解题关键.
4. 某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前3名参加学校比赛．小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成绩的（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数即可．
【详解】由于总共有7个人，且他们成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，故应知道中位数是多少．
故选B．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
5. 已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A 3，2B. 3，4C. 5，2D. 5，4
【答案】B
【解析】
【详解】解：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；
原来的方差：；
新的方差：，
故选B．
6. 把分式中的都扩大为原来的5倍，分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小为D. 扩大25倍
【答案】A
【解析】
【详解】∵要把分式中的都扩大5倍，
∴扩大后的分式为：，
∴把分式中的都扩大5倍，分式的值不变.
故选A.
点睛：解这类把分式中的所有字母都扩大倍后，判断分式的值的变化情况的题，通常是用分式中每个字母的倍去代替原来的字母，然后对新分式进行化简，再把化简结果和原来的分式进行对比就可判断新分式和原分式相比值发生了怎样的变化.
7. 当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A. 被5整除B. 被6整除C. 被7整除D. 被8整除
【答案】D
【解析】
【分析】先把（n+1）2﹣（n﹣3）2分解因式可得结果为：从而可得答案.
【详解】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2



n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故选D
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键.
8. 如果是完全平方式，那么m的值为（ ）
A. 5或1B. 7或C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】完全平方公式：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故，即可求出m的值．
【详解】解：，
∴在中，，
解得：或，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
9. 对于实数，定义一种运算“※”，规定，如，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．利用已知新定义化简所求方程，求出解．
【详解】解：根据题中的新定义规定化简得：，
，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
10. 若关于 x 的分式方程 的解是非负数，则 m的取值范围是（ ）
A. m≥-4B. m≥-4 且 m≠-3C. m≥2 且 m≠3D. m≥2
【答案】B
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：m+3=x-1，
解得：x=m+4，
由方程的解为非负数，得到m+4≥0，且m+4≠1，
解得：m≥-4且m≠-3．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
二、填空题（本大题共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28．0分）
11. 分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝_____．
【答案】（a+b）（a﹣3b）
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：（a﹣b）2﹣4b2
＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）
＝（a+b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+b）（a﹣3b）．
【点睛】本题主要考查了公式法进行因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，注意因式分解要彻底．
12. 使分式的值为零的x的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零分子为零、分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
由得，或．
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分母不为零是解题关键．
13. 小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝__________________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【详解】解：由方差计算公式s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]可知，这组数据的平均数是2，一共有10个数据，
x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
14. 已知数据a，b，c的平均数为8，那么数据的平均数是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据数据a，b，c的平均数为8，求出，进而求出的平均数为10．
【详解】解：∵数据a，b，c的平均数为8，
∴，
∴，
∴的平均数．
故答案为10．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数所得的商，熟悉掌握算术平均数的公式是本题的解题关键．
15. 多项式因式分解得，则__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】根据多项式的乘法法则把计算后与比较即可求解．
【详解】解：=x2+nx-2x-2n= x2+(n-2)x-2n，
∵因式分解得，
∴m=n-2，-2n=6，
∴n=-3，m=-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键．
16. 某校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书．其中《九章算术）和《几何原本》的单价共80元，用640元购进《九章算术》与用960元购进《几何原本》的数量相同．求这两本书的单价．设《九章算术》的单价为x元，依题意，列出方程：_____．
【答案】．
【解析】
【分析】设《九章算术》的单价为x元，《几何原本》的单价为（80-x）元，根据等量关系：用640元购进《九章算术》与用960元购进《几何原本》的数量相同．列方程即可．
【详解】解：设《九章算术》的单价为x元，《几何原本》的单价为（80-x）元，
依题意，列出方程：．
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
17. 若关于的方程无解，则的值是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x−1＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
【详解】解：，
分式方程去分母得：x＋1＋2（x−1）＝a，即3x−1＝a，
由分式方程无解，得到x−1＝0，即x＝1，
将x＝1代入整式方程3x−1＝a得：3−1＝a，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
18. 观察下列等式：，，，……计算
的结果为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】将式子先提取公因式后，再根据等式的规律计算即可.
【详解】
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据式子特点，提取公因式.
三、计算题（本大题共4小题，共32．0分）
19. 分解因式
（1）；
（2）．（用简便方法计算）
【答案】（1）
（2）36
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算．
（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行简便计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解分式方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．
【小问1详解】
解：方程两边同乘，
得，
解得．
检验：当时，，
∴不是原方程的解．
∴原分式方程无解．
【小问2详解】
解：方程两边同乘，
得到，
∴，
∴，
即
解得．
检验：当时，．
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】先利用分式的运算法则化简分式可得原式，再由得，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算顺序和法则及是解题的关键．
22. （1）若恒成立，求的值．
（2）已知是三边的长度，且满足，求的形状．
【答案】（1）5；（2）等边三角形
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算以及因式分解的应用，掌握分式的减法运算法则和完全平方公式是解题的关键．
（1）先把等式右边通分，再根据多项式相等，对应项的系数相等，列方程求解；
（2）先把等号左边配方，再根据平方的非负性求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵
，
∴，
∴，
∴的形状为等边三角形．
四、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 2022年5月10日，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的作品数量为______份，并补全条形统计图；此次被抽取的参赛作品成绩的众数为______；
（2）求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数；
（3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】（1）100；补全条形统计图见解析；8分
（2）中位数是8分，平均数是分
（3）240件
【解析】
【分析】（1）用成绩为“9分”的数量除以占抽取作品数量的百分比，可得抽取作品的总数量，从而得到成绩为“8分”的作品数量，即可求解；
（2）根据中位数和平均数的求法计算，即可求解；
（3）用800乘以成绩不低于9分的作品的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：从两个统计图得：成绩为“9分”的数量是25件，占抽取作品数量的，所以抽取作品的数量为：（件），
成绩为“8分”的作品数量为：（件），
补全条形统计图如图所示：
根据题意得：得8分的人数最多，
所以此次被抽取的参赛作品成绩的众数为8分；
故答案为：100；8分；
【小问2详解】
解：将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是8分，
因此成绩中位数是8分，
平均数为：（分），
答：此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是8分，平均数是分；
【小问3详解】
解：（件），
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有240件．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数和平均数的求解、用部分估计总体，要熟练掌握各种统计图及统计分析数据的计算方法．
24. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）30天 （2）225000元
【解析】
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可；
（2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可．
【小问1详解】
解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
【小问2详解】
该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
25. 教科书中这样写道：“形如式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
．原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：；（其他方法不得分）
（2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值．
（3）已知，求出的值．
【答案】（1）
（2）的最大值为13；此时
（3），
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，平方差公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用题干中的配方法求解即可；
（2）首先将多项式配方为，然后得到，进而求解即可；
（3）将变形为，然后根据非负数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
∵
∴
∴
∴当时，的最大值为13，
即的最大值为13．
【小问3详解】
解：∵
，
∴，
∴，，
解得：，．
26. 结合图，观察下列式子：
于是有：．
（1）填空：因式分解（ ）（ ）；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）2，3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）原式括号中两项变形约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可求出值．
【小问1详解】
，
故答案为：2，3；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
原式
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及因式分解-十字相乘法，以及分组分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．