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初中数学第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线教学设计及反思
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这是一份初中数学第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线教学设计及反思，共14页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。
通过观察现实生活中的图片，了解相交线的相关概念，包括对顶角、邻补角、垂线和“三线八角”的概念认识与拓展，形成对知识点的全面认识，并促进学生思维的发展；
（1）构造生活中的具体情境，让学生通过实例归纳总结出对顶角和邻补角的概念和性质；掌握垂线和垂线段的概念，同时理解点到直线的距离；同时通过线段的位置关系理解“三线八角”的概念，并能正确识别图形中出现的同位角、内错角和同旁内角；学会从生活实际抽象出具体的概念；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
相交线对顶角、邻补角垂线三线八角同位角内错角同旁内角
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的基础，同时也是理解角的关键；在小学阶段我们就已经学习了角的概念，对于角的大小和计算有一定的了解，但本节内容拓展了角的概念，丰富了对角的理解；
2.认知障碍
学生在理解对顶角、邻补角和垂线的相关概念时，往往比较直观，对概念的理解和把握比较准确，但涉及到“三线八角”问题时容易混淆同位角、内错角和同旁内角的概念，主要在于对概念的深入理解不够，缺乏举一反三的能力；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
教学重点： 对顶角、邻补角的概念，垂线和垂线段的概念与表示；同位角、内错角和同旁内角的概念；
教学难点： 点到直线的距离和垂线的性质；“三线八角”的识别与应用；
五、【教学问题诊断分析】
5.1.1对顶角、邻补角概念
问题1：同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？
【破解方法】通过身边熟悉的环境场景，引发学生的思考，掌握直线相交形成的对顶角和邻补角；掌握对顶角相等，邻补角互补的性质；
问题2：下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( )
【破解方法】判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
【解析】观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C.
问题3：如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
【破解方法】邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．
【解析】根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.
问题4：如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
【破解方法】解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
【解析】由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
5.1.2垂线的概念与性质
问题5：如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【破解方法】两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．
【解析】先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.
问题6：(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
【破解方法】垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
【解析】分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．
解：如图所示．
问题7：如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
【破解方法】在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
【解析】根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．
解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．
5.1.3同位角、内错角和同旁内角的概念
问题8：如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【破解方法】①同位角中的“同”字有两层含义：一同是指两角在截线的同旁，二同是指它们在被截两直线同方向；②在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：“∠×和∠×是直线×和直线×被直线×所截形成的×角”．
【解析】识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
问题9：如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
【破解方法】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．三条直线相交于一点，形成（ ）对顶角
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】两条直线相交于一点，形成两对对顶角，把三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，再判断对顶角的对数．
【详解】解：三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，
因为两条直线相交于一点，形成两对对顶角，
所以三条直线相交于一点，有3个两对对顶角，共6对对顶角．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
2．的对顶角是的邻补角是，若，则的度数是( )
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．
【详解】解：∵邻补角是，
∴，
∵的对顶角是，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义．
3．如图，下列说法错误的是（ ）．
A．与是同旁内角B．与是内错角
C．与是内错角D．与是同位角
【答案】D
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案．
【详解】解；A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、与是内错角，故此选项不符合题意；
C、与是内错角，故此选项不符合题意；
D、与是同旁内角，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．与是对顶角，与是邻补角，则________度．
【答案】
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补，解题的关键是根据题意得到角度关系．
5．如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________．
【答案】##75度
【分析】先根据，求出，再根据平分，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，领补角的计算，解题的关键是根据邻补角求出．
6．如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么
（1）∠1与∠2是一对什么角？
（2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？
【答案】（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可．
【详解】解：直线AB，EF被直线CD所截，
（1）∠1与∠2是一对同位角；
（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角．
【点睛】本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
【答案】A
【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键．
【变式2】如图，直线、被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】根据定义判断可得．
【详解】A：与是内错角，错误
B：与不是同位角，错误
C：与不是内错角，错误
D：与是同旁内角，正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三线八角模型的相关知识，理解三种角的定义是解题关键．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样一对位置关系的角叫做内错角；同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方 ，具有这样一对位置关系的角叫同位角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，并在第三条直线同旁的两个角．
【变式3】如图，于点，直线经过点，且，则的度数为____度．
【答案】
【分析】设，则，根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平角、余角的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．如图，已知直线，被直线所截，的同旁内角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】∵直线，被直线所截，
∴的同旁内角是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念，掌握同旁内角在图形中的位置是解决问题的关键．
2．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线，是的平分线，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是的平分线求出，由邻补角的定义求出，再根据是的平分线，即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查角度的计算，关键是利用角平分线定义求解．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．互补的两个角不可能是对顶角
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：A、有公共顶点，并且相等的角是对顶角，故此说法错误；
B、如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角，故此说法正确；
C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故此说法错误；
D、互补的两个角不可能是对顶角，故此说法错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义和对顶角相等．
4．已知和的两边互相垂直，且比的两倍少，则的度数为 ______．
【答案】或
【分析】由和的两边分别垂直，即可得或，又由比的两倍少，即可求得的度数．
【详解】解：和的两边分别垂直，
或，
比的两倍少，
即，
①当时，，
．
②当时，
，
或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了垂线，解题的关键是掌握由和的两边分别垂直，即可得或，注意分类讨论思想的应用．
5．如图，，垂足为．
(1)比较的大小，并用“”号连接．
(2)若，求和的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形可判断各角的大小．
（2）根据图形可得，根据平角的定义求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的关系，垂直的定义，通过已知角求得未知角，数形结合是解题的关键．
6．如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．
(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析，理由见解析
(2)作图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题．
（2）根据垂线段最短解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，线段即为所求作．
（2）如图，过点作于点，线段即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
通过观察现实生活中的图片，了解相交线的相关概念，包括对顶角、邻补角、垂线和“三线八角”的概念认识与拓展，形成对知识点的全面认识，并促进学生思维的发展；
（1）构造生活中的具体情境，让学生通过实例归纳总结出对顶角和邻补角的概念和性质；掌握垂线和垂线段的概念，同时理解点到直线的距离；同时通过线段的位置关系理解“三线八角”的概念，并能正确识别图形中出现的同位角、内错角和同旁内角；学会从生活实际抽象出具体的概念；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
相交线对顶角、邻补角垂线三线八角同位角内错角同旁内角
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的基础，同时也是理解角的关键；在小学阶段我们就已经学习了角的概念，对于角的大小和计算有一定的了解，但本节内容拓展了角的概念，丰富了对角的理解；
2.认知障碍
学生在理解对顶角、邻补角和垂线的相关概念时，往往比较直观，对概念的理解和把握比较准确，但涉及到“三线八角”问题时容易混淆同位角、内错角和同旁内角的概念，主要在于对概念的深入理解不够，缺乏举一反三的能力；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
教学重点： 对顶角、邻补角的概念，垂线和垂线段的概念与表示；同位角、内错角和同旁内角的概念；
教学难点： 点到直线的距离和垂线的性质；“三线八角”的识别与应用；
五、【教学问题诊断分析】
5.1.1对顶角、邻补角概念
问题1：同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？
【破解方法】通过身边熟悉的环境场景，引发学生的思考，掌握直线相交形成的对顶角和邻补角；掌握对顶角相等，邻补角互补的性质；
问题2：下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( )
【破解方法】判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
【解析】观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C.
问题3：如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
【破解方法】邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．
【解析】根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.
问题4：如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
【破解方法】解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
【解析】由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
5.1.2垂线的概念与性质
问题5：如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【破解方法】两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．
【解析】先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.
问题6：(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
【破解方法】垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
【解析】分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．
解：如图所示．
问题7：如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．
【破解方法】在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．
【解析】根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．
解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．
5.1.3同位角、内错角和同旁内角的概念
问题8：如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【破解方法】①同位角中的“同”字有两层含义：一同是指两角在截线的同旁，二同是指它们在被截两直线同方向；②在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法：“∠×和∠×是直线×和直线×被直线×所截形成的×角”．
【解析】识别同位角要弄清哪两条直线被哪一条直线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
问题9：如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
【破解方法】在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．三条直线相交于一点，形成（ ）对顶角
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】两条直线相交于一点，形成两对对顶角，把三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，再判断对顶角的对数．
【详解】解：三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，
因为两条直线相交于一点，形成两对对顶角，
所以三条直线相交于一点，有3个两对对顶角，共6对对顶角．
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
2．的对顶角是的邻补角是，若，则的度数是( )
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．
【详解】解：∵邻补角是，
∴，
∵的对顶角是，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义．
3．如图，下列说法错误的是（ ）．
A．与是同旁内角B．与是内错角
C．与是内错角D．与是同位角
【答案】D
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，可得答案．
【详解】解；A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、与是内错角，故此选项不符合题意；
C、与是内错角，故此选项不符合题意；
D、与是同旁内角，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．与是对顶角，与是邻补角，则________度．
【答案】
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补，解题的关键是根据题意得到角度关系．
5．如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________．
【答案】##75度
【分析】先根据，求出，再根据平分，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，领补角的计算，解题的关键是根据邻补角求出．
6．如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么
（1）∠1与∠2是一对什么角？
（2）∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？
【答案】（1）∠1与∠2是一对同位角；（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截直线之间的两角，叫做同旁内角；由以上概念进行判断即可．
【详解】解：直线AB，EF被直线CD所截，
（1）∠1与∠2是一对同位角；
（2）∠3与∠4是一对内错角，∠2与∠4是一对同旁内角．
【点睛】本题考查同位角、内错角以及同旁内角的识别，掌握这几种角的基本定义是解题关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（ ）
A．6对，2对B．4对，2对C．8对，4对D．4对，4对
【答案】A
【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．
【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线，
∴对顶角有：与，与，共2对，
邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对
故选:A
【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键．
【变式2】如图，直线、被直线和所截，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】根据定义判断可得．
【详解】A：与是内错角，错误
B：与不是同位角，错误
C：与不是内错角，错误
D：与是同旁内角，正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三线八角模型的相关知识，理解三种角的定义是解题关键．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样一对位置关系的角叫做内错角；同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方 ，具有这样一对位置关系的角叫同位角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线之间，并在第三条直线同旁的两个角．
【变式3】如图，于点，直线经过点，且，则的度数为____度．
【答案】
【分析】设，则，根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平角、余角的定义，解题的关键是找到互余、互补的两个角．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．如图，已知直线，被直线所截，的同旁内角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【详解】∵直线，被直线所截，
∴的同旁内角是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念，掌握同旁内角在图形中的位置是解决问题的关键．
2．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线，是的平分线，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是的平分线求出，由邻补角的定义求出，再根据是的平分线，即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查角度的计算，关键是利用角平分线定义求解．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．互补的两个角不可能是对顶角
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：A、有公共顶点，并且相等的角是对顶角，故此说法错误；
B、如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角，故此说法正确；
C、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故此说法错误；
D、互补的两个角不可能是对顶角，故此说法错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义和对顶角相等．
4．已知和的两边互相垂直，且比的两倍少，则的度数为 ______．
【答案】或
【分析】由和的两边分别垂直，即可得或，又由比的两倍少，即可求得的度数．
【详解】解：和的两边分别垂直，
或，
比的两倍少，
即，
①当时，，
．
②当时，
，
或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了垂线，解题的关键是掌握由和的两边分别垂直，即可得或，注意分类讨论思想的应用．
5．如图，，垂足为．
(1)比较的大小，并用“”号连接．
(2)若，求和的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形可判断各角的大小．
（2）根据图形可得，根据平角的定义求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的关系，垂直的定义，通过已知角求得未知角，数形结合是解题的关键．
6．如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．
(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析，理由见解析
(2)作图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题．
（2）根据垂线段最短解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接，线段即为所求作．
（2）如图，过点作于点，线段即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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