北京市2024届九年级上学期期末模拟数学试卷(含解析)

这是一份北京市2024届九年级上学期期末模拟数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．二次函数的图像是由二次函数的图像（ ）变换得到的．
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
3．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）

A．30°B．45°C．55°D．75°
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米．

A．45B．60C．75D．90
如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
8 .如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．
下列结论：
①；
②；
③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；
④.
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题2分，共16分）
9 .若，则的值为 ．
10 .一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有 个黄球．
11．如果抛物线的对称轴是，那么 ．
如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，的长为6πcm，
则该圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π） ．

如图，在中，，，是边上的中线，则的值是 ．

如图，输电塔高．在远离高压输电塔的处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为．
已知测角仪高，则 ．

15．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为 ．

如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到，
点在上，交于点．如下结论中：
①平分；②；③；④．
所有正确结论的序号是 ．

解答题（本大题共11个题，总分68分 ）
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段AB．
求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；
（4）连接AC，BC．
则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵PA=PB，QA=QB，
∴PQ垂直平分AB（ ）
在⊙O中，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°（ ）
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴AC=BC（ ），
∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．
19．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.
20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．
21．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：
A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，
学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，
制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，
李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，
请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
22．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．

23 .如图，在中，，点D在上，，
过点B作，交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，
过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．

25．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)若为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求a的值；
②若对于，都有，求a的取值范围．
26 .如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，
它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，
中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，
此时车架中立管长为，且．
（参考数据：，，）
（1）求车座到地面的高度（结果精确到）；
（2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，
此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到）
27．（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．

2023—2024学年第一学期北京市九年级数学期末模拟试卷 解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．【答案】A
解析：
解：A、既轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
2．【答案】C
解：抛物线向右平移1个单位，得：；
再向下平移2个单位，得：．
故选：C．
3．【答案】B
设其中一副手套分别为a，a'；另一副手套分别为b，b'．
共有12种情况，能配成一副的有4种情况，
所以刚好是一副的概率是．
故选：B．
4．【答案】C
解：∵⊙O的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
5.【答案】B
解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
6.【答案】B
解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
7.【答案】C
解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
8 .【答案】D
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
二、填空题（每小题2分，共16分）
9 .【答案】
解：∵
∴，
∴ ．
故答案为 ．
10 .【答案】15
解：设有黄球x个，由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
故答案为：15
11．【答案】4
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：4．
12 .【答案】27π
解：设cm
的长为6πcm，
解得：cm
圆锥的侧面积为cm2
故答案为：27π．
13 .【答案】2
解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴；
故答案为：2．
14 .【答案】
如图，作交BE于点C，
根据题意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，
∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，
∴．
故答案为：．
15．【答案】3＋2/
解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案为：3＋2．
16 .【答案】①②③
由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正确；
∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△DBF，故②正确；
∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，
∴，故③正确；
∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE，
∴不能证明△ADF全等于△ADC，
故CD不一定等于DF，
∴DE-DF不一定等于BC-CD，即无法证明EF=BD，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．【答案】(1)，；
(2)，．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故方程解为：，．
（2）解：移项得：，
∴，
∴或，
故方程解为：，．
18．【答案】（1）答案见解析；（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对圆周角是直角，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．
(1)如图即为补全的图形；

(2)完成下面的证明：
证明：∵PA=PB，QA=QB，
∴PQ垂直平分AB(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
在⊙O中，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90° (直径所对圆周角是直角)
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴AC=BC(相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等)，
∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、
直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．
19．【答案】（1）见解析；（2）
（1），
∵，
∴方程总有实数根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
20．【答案】（1）yx2x﹣2，顶点坐标(－1，)；（2）y的取值范围是y＜4．
(1)∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过点(﹣4，0)，
∴抛物线经过点(2，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2)，把(0，﹣2)代入，
解得：a，
∴抛物线的解析式为y=(x+4)(x﹣2)(x+1)2x2x﹣2；，
故抛物线的解析式为：yx2x﹣2；顶点坐标(－1，)；
(2)yx2x﹣2(x+1)2，
∵，
∴当时，函数有最小值，
把x=4代入y=(x+4)(x﹣2)得y=4，
∵﹣4＜﹣1＜4，
∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是y＜4．
21．【答案】(1)50，72
(2)见解析
(3)
（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：兵乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
22．【答案】证明过程见解析
∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
23 .【答案】（1）见解析 （2）
解析：
【小问1】
证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
24.【答案】（1）见解析；（2）1．
（1） 证明：如下图所示，连接，
∵D是弧BC的中点，
即
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线.；
（2）解：如下图所示，连接OC，
∵∠CDA=30°，
∴∠AOC=2∠CDA=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝OD
由（1）可得，AC∥OD，
∴ 四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，
∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，
∠CDE=90°－60°＝30°，
∵DE⊥AE, ∠CED＝90°
∴CE=1．
25．【答案】(1)
(2)①，②
（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：，
∴抛物线的对称轴为：．
（2）①∵当时，，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：．
②∵对于，都有，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴，解得：．
26 .【答案】（1）；（2）
解：（1）设与交于，
，，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
长为，且，
，
；
答：车座到地面的高度是；
（2）如图所示，，设与交于点，则有，
△，得．
即，
．
故．
车架中立管拉长的长度应是．
27．【答案】（1）①；②；（2）；；
（3）；
解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．