江苏省扬州市江都区邵樊片2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省扬州市江都区邵樊片2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、
某商品原价元，经过连续两次降价后的售价为元，设平均每次降价的百分数为，则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，是的弦，直径，交于点，连接，若，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆B. 任何三角形有且只有一个内切圆
C. 长度相等的弧是等弧D. 三角形的外心是三条角平分线的交点
是的弦，，则所对的圆周角是( )
A. B. 或C. D. 或
如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的长度可能是( )
A.
B.
C.
D.
一块等边三角形的木板，边长为，现将木板沿水平线翻滚如图，那么点从开始至结束所走过的路径长度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
已知直径为，点到点距离为，则点在 ______填“上、内或外”
关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．
正十边形绕着它的中心至少旋转______度，能与它本身重合．
若是关于的一元二次方程，则的值为______．
实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为______．
若三角形的面积是，周长是，则这个三角形内切圆的半径______．
如图，等边三角形内接于，若的半径为，则图中阴影部分的面积等于______．
如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为______．
已知，则的值为______．
如图，在中，，，，与关于对称，点、分别是边、上的任意一点，且，、相交于点，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
解方程：
；
．
本小题分
已知关于的方程．
若此方程的一个根为，求的值；
求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
本小题分
如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，其中点坐标为．
画出该圆弧所在圆的圆心．
该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
求弧的长．
本小题分
某商场销售一种毛毯，平均每天可售出件，每件的利润是元，天气渐凉，为了扩大销售，增加利润，商场准备适当降价．据市场调查，若每件毛毯每降价元，每天可多售出件，针对这种毛毯的销售情况，请解答以下问题：
当每件毛毯降价元时，销售这种毛毯每件可获利______元；每天可售出______件．
在要求每件毛毯获利大于元的情况下，使每天销售毛毯获利元，每件毛毯应降价多少元？
本小题分
已知，分别与相切于点，，，为上一点．
Ⅰ如图，求的大小；
Ⅱ如图，为的直径，与相交于点若，求的大小．
本小题分
如图，在中，，，点在上，经过点，，且交于点，直径于点．
求证：是的切线；
若，求的长．
本小题分
如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动
，两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
，两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？
本小题分
如图，四边形是平行四边形，，经过点，，的圆与相交于点，连接．
求证：是等边三角形．
是上一点，且，连接求证：．
本小题分
实践操作
如图，是直角三角形，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明相应的字母．保留作图痕迹，不写作法
作的平分线，交于点；以为圆心，为半径作圆．
综合运用
在你所作的图中，
与的位置关系是______；直接写出答案
若，，求的半径．
在的条件下，求以为轴把旋转一周得到的圆锥的侧面积．
本小题分
【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______
【问题解决】
如图，在四边形中，，，求的数．
【问题拓展】
如图，，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：为一元一次方程，所以选项不符合题意；
B.为二元二次方程，所以选项不符合题意；
C.是分式方程，所以选项不符合题意；
D.为一元二次方程，所以选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】
解析：解：方程化成一般形式是，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故选：．
要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】
解析：解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，
为，则列出的方程是．
故选B．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
4.【答案】
解析：解：直径，，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
根据垂径定理和勾股定理解答即可．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
5.【答案】
解析：解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；
B.任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；
C.能够重合的弧是等弧，故C不符合题意；
D.三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D不符合题意；
故选：．
根据确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，等弧的概念，三角形的外接圆与外心，逐一判断即可．
本题考查了确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，等弧的概念，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．
6.【答案】
解析：解：如图：

当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
；
所以弦所对的圆周角是或．
故选：．
此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
本题考查了圆周角定理，注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
7.【答案】
解析：解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为．
底面圆的周长等于：，
解得：；
连结，过作于，则．
由，可求得，
，
，即这根绳子的最短长度是，
故这根绳子的长度可能是，
故选：．
设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为利用弧长公式构建方程求出的值，连结，过作于，求出的长即可判断；
此题考查了圆锥的计算，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
解析：解：如图：，
，
点从开始至结束所走过的路径长度为弧，
故选：．
根据题目的条件和图形可以判断点分别以和为圆心和为半径旋转，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以即可得到．
本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．
9.【答案】外
解析：解：根据题意得，，
，
点在外．
故答案为：外．
根据时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．依此即可求解
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若圆的半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
10.【答案】
解析：解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
11.【答案】
解析：解：，
该图形绕中心至少旋转度后能和能与它本身重合．
故答案为：．
根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
本题考查旋转对称图形的概念，正多边形和圆，掌握：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形是解决问题的关键．
12.【答案】
解析：解：是关于的一元二次方程，
．
所有，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行判断即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义．
13.【答案】
解析：解：实数，是一元二次方程的两个根，，，，
，，
．
故答案为：．
由实数，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
14.【答案】
解析：解：设这个三角形的内切圆的半径是，则，
解得：．
故答案是：．
根据三角形的面积三角形的周长内切圆的半径，即可求解．
本题考查了三角形的内切圆，理解三角形的面积三角形的周长内切圆的半径是关键．
15.【答案】
解析：解：连接，

为等边三角形，
，，
的半径为，
，
故答案为：．
连接，根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16.【答案】
解析：解：、分别切于点、，切于点，，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
17.【答案】
解析：解：设，则原方程换元为，
，
解得：，，
，

故答案为：．
设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
18.【答案】
解析：解：如图，连接，
中，，，，
，，
与关于对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
由于点在运动中保持，
如图，点的运动路径为：以为圆心，为半径的的弧，
连接与圆弧的交点即为点，此时的长度最小，
，
则线段的最小值为；
故答案为：．
由题意易证≌，从而得到，再由平角的定义和四边形内角和定理可得，由于点在运动中保持，所以点的路径是一段以为圆心，以为半径的弧，连接交弧于点，此时的长度最小，或得最小值即可．
本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形度角的性质，圆的性质，知道线段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
19.【答案】解：，
分解因式得：，
，，
，；
，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，．
解析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
先求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
20.【答案】解：将代入原方程，得：，
解得：；
证明：．
，
，即，
不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
解析：代入求出值即可；
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：代入求出值；牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
21.【答案】
解析：解：如图，点为所作；

圆心的坐标为；
故答案为：；
连接、、，如图，
，，
，
为直角三角形，，
，
弧的长
利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为圆心；
利用所画的点写坐标；
先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后根据弧长公式计算．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理．
22.【答案】
解析：解：元，
件．
故答案为：；．
设每件毛毯降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件毛毯应降价或元．
利用降价后销售这种毛毯每件获得的利润原来每件的销售利润每件毛毯降低的钱数，可求出降价后销售这种毛毯每件获得的利润；利用降价后每天的销售量原来每天的销售量每件毛毯降低的钱数，即可求出结论；
设每件毛毯降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：Ⅰ连接、，
，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
Ⅱ连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
解析：本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
Ⅰ连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算．
24.【答案】证明：连接，如图所示：

，，
，，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
解：直径，
，
，
，
，
，，
，
．
解析：连接，由等腰三角形的性质得出，，求出，得出，即可得出是的切线；
由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，，即可得出．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三线合一、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识；解题关键是熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质．
25.【答案】解：当运动时间为秒时，，．
依题意，得：，
解得：．
答：，两点从出发开始到秒时，四边形的面积为．
过点作于点，如图所示．
，，
，即，
解得：，不合题意，舍去．
答：，两点从出发开始到秒时，点和点的距离第一次是．
解析：当运动时间为秒时，，．
利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
过点作于点，则，，利用勾股定理结合，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据梯形的面积公式，找出关于的一元一次方程；利用勾股定理，找出关于的一元二次方程．
26.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
≌，
．
解析：利用平行四边形的性质可得，从而利用圆内接四边形对角互补，可求出的度数，进而求出的度数，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
利用的结论可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，等弧所对圆周角相等可得，从而证明≌，利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
27.【答案】相切
解析：解：如图，即为所求．
结论：相切．
理由：作于．
平分，，，
，
与相切．
故答案为相切．
在中，，，
，
设，
，
．
圆锥的侧面积．
利用尺规根据要求作出图形即可．
结论：相切．作于证明即可．
利用面积法构建方程即可解决问题．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，直线与圆的位置关系，圆锥的侧面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28.【答案】
解析：解：如图，

，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案是：；
如图，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，
如图，在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
解法二：可以理解为点是在以为直径的半圆上运动，当、、三点共线时，长度最小．
故答案为：．
利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
由、、、共圆，得出，
根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．