第6章 图形的相似 苏科版数学九年级下册素养检测(含解析)

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第6章 图形的相似素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列线段中能成比例的是(　　)A.3 cm,5 cm,7 cm,9 cm　　B.2 cm,5 cm,6 cm,8 cmC.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm　　D.1 cm,3 cm,4 cm,7 cm2.若b是a和c的比例中项,则关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的根的情况是(　　)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断3.【数学文化】(2022江苏苏州工业园星海实验中学二模)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD=(　　)A.2米　　B.3米　　C.12米　　D.13米4.(2022山东济南莱芜期末)两个相似多边形的周长之比为1∶4,则它们的面积之比为(　　)A.1∶2　　B.1∶4　　C.1∶8　　D.1∶165.(2018浙江杭州临安中考)如图,小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (　　) A B C D6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为1∶3,把△ABO缩小,则点B的对应点B'的坐标是(　　)A.(-3,-1)　　B.(-1,2)C.(-9,1)或(9,-1)　　D.(-3,-1)或(3,1)7.(2022广西百色中考)已知△ABC与△A'B'C'是位似图形,相似比是1∶3,则△ABC与△A'B'C'的面积比是(　　)A.1∶3　　B.1∶6　　C.1∶9　　D.3∶18.【K字型】(2021山东淄博中考)如图,AB,CD相交于点E,且AC∥EF∥DB,点C,F,B在同一条直线上.已知AC=p,EF=r,DB=q,则p,q,r之间满足的数量关系式是(　　)A.1r+1q=1p　　B.1p+1r=2qC.1p+1q=1r　　D.1q+1r=2p9.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图像大致为(　　) A B C D10.(2022江苏连云港中考)如图,将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折,使得点A、B、D恰好都落在点O处,且点G、O、C在同一条直线上,同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=435AD;③GE=6DF;④OC=22OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是 (　　)A.①②③　B.①③④　C.①④⑤　D.②③④二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2023江苏无锡江阴青阳中学月考)下列说法中:①所有的等腰三角形都相似;②所有的正三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的矩形都相似;⑤所有的圆都相似.其中说法正确的序号是　　　　. 12.(2021四川攀枝花中考)若x6=y4=z3(x,y,z均不为0),则x+3y3y-2z=　　　　. 13.【新情境·优选法】(2022陕西中考)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上、下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为　　　　米. 14.(2022上海青浦期末)如图,点G为等边三角形ABC的重心,连接GA,如果AG=2,那么BC=　　　　. 15.(2022安徽合肥巢湖二模)如图,在钝角三角形ABC中,AB=6 cm,AC=12 cm,动点D从A点出发到B点停止,动点E从C点出发到A点停止.点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是　　　　. 16.(2020山东潍坊中考)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为　　　　. 17.(2021辽宁大连中考)如图,在正方形ABCD中,AB=2,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,AF=EF,设BE=x,AF=y,当0”“=”或“<”); (2)求证:△P1FQ∽△P2HQ;(3)设四边形PP1QP2的面积为S1,四边形CFQH的面积为S2,求S1S2的值.23.(2021四川乐山中考)(12分)在等腰△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),连接AD.(1)如图①,若∠C=60°,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE,DE,则∠BDE=　　　　; (2)若∠C=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接BE.(i)在图②中补全图形;(ii)探究CD与BE的数量关系,并证明;(3)如图③,若ABBC=ADDE=k,且∠ADE=∠C.试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系,并证明.答案全解全析1.C　A.∵3×9≠5×7,∴此选项不符合题意;B.∵2×8≠5×6,∴此选项不符合题意;C.∵3×18=6×9,∴此选项符合题意;D.∵1×7≠3×4,∴此选项不符合题意.故选C.2.B　∵b是a和c的比例中项,∴b2=ac,∴Δ=(-2b)2-4ac=4(b2-ac)=0,∴该一元二次方程有两个相等的实数根.故选B.3.B　由题意知AB∥CD,则∠BAE=∠C,∠B=∠CDE,∴△ABE∽△CDE,∴ABCD=AECE,∴1CD=0.41.6-0.4,∴CD=3米,故选B.4.D　根据相似多边形的周长的比等于相似比,面积的比是相似比的平方,可知它们的面积比为1∶16.故选D.5.B　由正方形的性质可知,∠ACB=180°-45°=135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135°,易知BC=2,AC=2,选项B中三角形的边长分别为1,5和2,∵12=22,∴选项B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,故选B.6.D　∵以原点O为位似中心,相似比为1∶3,把△ABO缩小,∴点B(-9,-3)的对应点B'的坐标是(-3,-1)或(3,1).故选D.7.C　∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,相似比是1∶3,∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1∶9.故选C.8.C　∵AC∥EF,∴EFAC=BFBC,∵EF∥DB,∴EFBD=CFBC,∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1,即rp+rq=1,∴1p+1q=1r.故选C.9.A　如图,设身高GE=h,CF=l,AF=a,当x≤a时,在△OEG和△OFC中,∠GOE=∠COF(公共角),∠AEG=∠AFC=90°,∴△OEG∽△OFC,∴OEOF=GECF,∴yy+a-x=hl,∴y=hh-lx+ahl-h,∵a、h、l都是固定的常数,∴自变量x的系数是固定值,∴这个函数图像肯定是一次函数图像,即是直线,影长将随着离灯光越来越近而越来越短,到灯下的时候,将是一个点,进而随着离灯光的越来越远而影长将越来越长.故选A.10.B　由折叠性质可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,∠DGF=∠FGO,∠AGE=∠OGE,∠AEG=∠OEG,∠OEC=∠BEC,∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°,∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°,∴∠FGE+∠GEC=180°,∴GF∥CE,故①正确;设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,∴CG=OG+OC=3a,在Rt△CGE中,CG2=GE2+CE2,∴(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,解得b=2a,∴AB=2AD,故②错误;设OF=DF=x,则CF=2b-x=22a-x,在Rt△COF中,x2+(2a)2=(22a-x)2,解得x=22a,∴6DF=6×22a=3a,22OF=22×22a=2a,在Rt△AGE中,GE=AG2+AE2=3a,∴GE=6DF,OC=22OF,故③④正确;无法证明∠FCO=∠GCE,∴无法判定△COF∽△CEG,故⑤错误.综上,正确的是①③④,故选B.11.答案 ②③⑤解析　①所有的等腰三角形边不一定成比例,角不一定相等,故错误;②所有的正三角形都相似,正确;③所有的正方形都相似,正确;④所有的矩形边不一定成比例,故错误;⑤所有的圆都相似,正确.故答案为②③⑤.12.答案 3解析　设x6=y4=z3=k(k≠0),则x=6k,y=4k,z=3k,所以x+3y3y-2z=6k+12k12k-6k=3.13.答案 (-1+5)解析　设BE=x米,则AE=(2-x)米,∵BE2=AE·AB,∴x2=2(2-x),即x2+2x-4=0,解得x1=-1+5,x2=-1-5(舍去),∴线段BE的长为(-1+5)米.故答案为(-1+5).14.答案 23解析　延长AG交BC于H,如图,∵点G为等边三角形ABC的重心,∴BH=CH,AG=2GH,∴GH=12AG=1,∴AH=AG+GH=3,∵△ABC为等边三角形,AH为中线,∴AH⊥BC,∠B=60°,∴∠BAH=30°,∴AB=2BH,由勾股定理,得BH2+32=(2BH)2,∴BH=3(舍负),∴BC=2BH=23.15.答案 3 s或4.8 s解析　设运动t s时,以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,则AD=t cm,CE=2t cm,∴AE=AC-CE=(12-2t)cm.①当D与B对应时,有△ADE∽△ABC,∴AD∶AB=AE∶AC,∴t∶6=(12-2t)∶12,∴t=3;②当D与C对应时,有△ADE∽△ACB,∴AD∶AC=AE∶AB,∴t∶12=(12-2t)∶6,∴t=4.8.故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是3 s或4.8 s.16.答案 34解析　延长CO交☉O于点E,连接DE交OA于点P,连接PC(图略),此时PC+PD最小.∵CD⊥OB,∠AOB=90°,∴CD∥AO,∴BCBO=CDAO,∴24=CD3,∴CD=32.∵CD∥AO,∴EOEC=OPDC,即24=OP32,解得OP=34.17.答案 y=4+x22x解析　如图,过点F作FM⊥AE,垂足为M,∵AF=EF,∴AM=ME=12AE.在Rt△ABE中,AE=AB2+BE2=4+x2,∴AM=4+x22,在正方形ABCD中,AD∥BC,∴∠FAM=∠AEB,又∵∠B=∠AMF=90°,∴△ABE∽△FMA,∴AEAF=BEAM,∴4+x2y=x4+x22,∴xy=4+x22,即y=4+x22x.18.答案 93解析　如图,作CH⊥AB于点H,∵在▱ABCD中,∠B=60°,BC=8,∴BH=4,∴CH=43.∵四边形EFGC是平行四边形,∴EF=CG,EF∥CG.∴△EOD∽△GOC.∴EOGO=DOOC=DECG.∵DF=14DE,∴DEEF=45.∴DECG=45.∴EOGO=45.∴当EO取得最小值时,EG取得最小值.当EO⊥CD时,EO最小,此时EO=CH=43.∴GO=53.∴EG的最小值是93.19.解析　(1)△AB1C1如图所示.(2)由旋转知AC=AC1,∠CAC1=90°,∵AC=AC1=12+22=5,∴△ACC1的面积为12AC·AC1=52,故答案为52.(3)连接EF交CC1于D,连接AD.∵CF∥C1E,∴△CFD∽△C1ED,∴CDC1D=CFC1E=14,∴CD=15CC1,∴△ACD的面积是△ACC1面积的15.20.解析　(1)证明:∵DF∥AB,DE∥BC,∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF,∴∠DFC=∠AED,∵DE∥BC,∴∠DCF=∠ADE,∴△DFC∽△AED.(2)∵CD=13AC,∴CDDA=12,∴S△DFCS△AED=CDDA2=122=14.21.解析　设AB=x m,BC=y m,根据题意知,△ABC∽△EDC,△ABD∽△GFD,∴xy=1.62.4①,xy+2.4=1.62.52②.联立①②,得x=32.答:建筑物AB的高度为32 m.22.解析　(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,∵GH∥AB,∴∠GHC=∠B=90°,∠PGD=∠A=90°,∵EF∥AD,∴∠HPF=∠PGD=90°,∴四边形PFCH为矩形,同理可得,四边形AGPE、四边形GDFP、四边形EPHB均为矩形,∵AG=a,AE=b,AG∶GD=AE∶EB=1∶2,∴PE=a,PG=b,GD=PF=2a,EB=PH=2b,∴四边形EBHP的面积=PE·PH=2ab,四边形GPFD的面积=PG·PF=2ab,∴四边形EBHP的面积=四边形GPFD的面积.(2)证明:由(1)知PE·PH=2ab,PG·PF=2ab,∵PP1=PG,PP2=PE,∴PP2·PH=PP1·PF,即PP2PP1=PFPH,又∵∠FPP2=∠HPP1,∴△PP2F∽△PP1H,∴∠PFP2=∠PHP1,∵∠P1QF=∠P2QH,∴△P1FQ∽△P2HQ.(3)连接P1P2、FH(图略),∵PP2CH=a2a=12,PP1CF=b2b=12,∴PP2CH=PP1CF,∵∠P1PP2=∠C=90°,∴△PP1P2∽△CFH,∴P1P2FH=PP1CF=12,∴S△PP1P2S△CFH=P1P2FH2=14,由(2)知△P1FQ∽△P2HQ,∴P1QP2Q=FQHQ,∴P1QFQ=P2QHQ,　∵∠P1QP2=∠FQH,∴△P1QP2∽△FQH,∴S△P1QP2S△FQH=P1P2FH2=14,∵S1=S△P1PP2+S△P1QP2,S2=S△CFH+S△FQH,∴S1=14S△CFH+14S△FQH=14S2,∴S1S2=14.23.解析　(1)∵AB=AC,∠C=60°,∴∠B=∠C=60°,∵点D关于直线AB的对称点为点E,∴DE⊥AB,∴∠BDE=180°-60°-90°=30°.(2)(i)补全图形如下:(ii)CD=BE.证明如下:∵AB=AC,∠C=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,∴AD=AE,∠EAD=60°,∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠EAB=∠DAC,在△EAB和△DAC中,AB=AC,∠EAB=∠DAC,AE=AD,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴CD=BE.(3)AC=k(BD+BE).证明如下:连接AE,如图,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵∠ADE=∠C,∴∠ABC=∠ADE,又∵ABBC=ADDE,∴△ABC∽△ADE,∴∠DAE=∠BAC,ABAD=ACAE,∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAC,∵AB=AC,∴AE=AD,在△EAB和△DAC中,AB=AC,∠EAB=∠DAC,AE=AD,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴BE=CD,∴BC=BD+CD=BD+BE,而ABBC=ACBC=k,∴ACBD+BE=k,即AC=k(BD+BE).