初中数学华师大版九年级下册26.1 二次函数说课ppt课件

这是一份初中数学华师大版九年级下册26.1 二次函数说课ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了情境引入，考虑以下问题，导入新课，探究归纳，为一个常数确定值，观察图象完成下表，有两个交点，有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，有一个交点等内容，欢迎下载使用。

问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2.
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
二次函数与一元二次方程的关系
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3.
你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？
(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？
解：令 20 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4 = 0，解得 t1 = t2 = 2.
故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0，因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0，所以方程无解.故小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗?
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
令 0 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t = 0，解得 t1 = 0，t2 = 4.
即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
故小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程?
一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程.
如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到．
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2 + x - 2；（2）y = x2 - 6x + 9；（3）y = x2 - x + 1.
利用二次函数深入探讨一元二次方程
x2 - x + 1 = 0,无解
x2-6x+9=0,x1=x2=3
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
b2 - 4ac = 0
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)，∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根.∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点.
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数. ∴ 正整数 m 的值为 1.
例2 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式 已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.(1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点；
证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点.
变式 已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.(2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1.
例2 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解(精确到 0.1).
分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间.
先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1) 用描点法作出二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).
(3) 确定方程的解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　)A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
一元二次方程 ax2 + bx + c = m 的根就是二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = m (m 是实数) 图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
二次函数与一元二次不等式的关系
问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ；不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________.
x1 = −1，x2 = 3
x < −1 或 x > 3
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
x1 = −2，x2 = 4
x < −2 或 x > 4
问题2 如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
x1 = x2 = 2
问题3 (1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点；(2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
解：(1) 当 a＞0 时， ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) a＜0 时，ax2 + bx + c＜0 的解集 是一切实数.
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0； ③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0； ③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
① x1 = x2 = 2
有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或x＞x2.
有一个公共点(x0，0)
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.
y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解.
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
1. 根据下列表格的对应值：
2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = .
3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 .

4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于 (　　)A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限
5. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数．∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意. 当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数．∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即 k≤4 且 k ≠ 3.综上所述，k 的取值范围是 k≤4.