2023-2024学年河南省驻马店市西平县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市西平县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−8B. 14×10−7C. 0.14×10−6D. 1.4×10−9
3.下列运算结果正确的是( )
A. x3⋅x3=x9B. 2x3+3x3=5x6
C. (2x2)3=6x6D. (2+3x)(2−3x)=4−9x2
4.如图，AB与CD相交于点O，AC/​/BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( )
A. ∠A=∠DB. AO=BOC. AC=BOD. AB=CD
5.某同学在计算−3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3−3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是( )
A. −x2−2x−1B. x2+2x−1C. −x2+4x−1D. x2−4x+1
6.下列关于分式的判断，正确的是( )
A. 当x=3时，2x+1x−3的值为0B. 当x≠3时，x−3x有意义
C. 无论x为何值，5x+1不可能是整数D. 无论x为何值，3x2+1的值总为正数
7.若(2x+m)(x−3)的展开式中不含x项，则实数m的值为( )
A. −6B. 0C. 3D. 6
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，过点A的直线DE/​/BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为( )
A. 14B. 16C. 18D. 20
9.已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数.则m的取值范围是( )
A. m≤2B. m≥2
C. m≤2且m≠−2D. m<2且m≠−2
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D是BC边上的动点(不与B、C重合)，连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为( )
A. 80°B. 110°C. 120°D. 80°或110°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，△ABC≌△DCB，若AC=8，BE=5，则DE的长为______．
12.因式分解：a2+2a(b+c)+(b+c)2= ______．
13.若a2+a−5=0，代数式(a2−5)(a+1)的值为______．
14.若am=2，an=6，则am+n= ______．
15.如图，等边三角形ABC的边长为3，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(2a−3)2−(a+5)(a−5)；
(2)因式分解：3mx2−6mxy+3my2．
17.(本小题8分)
化简求值：m+2m2−1÷(m−1−3m+1)，已知m2−3m−4=0．
18.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD四个顶点坐标分别为A(0,4)，B(1,0)，C(3,0)，D(4,4)．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形ABCD；
(2)画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A1B1C1D1，并直接写出点D的对称点D1的坐标；
(3)若四边形ABCD上的点P坐标为(x,y)，则其关于x轴对称点坐标为______．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，如果∠B=50°，∠ACE=30°，求∠ADC的度数．
20.(本小题8分)
(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP=AC.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在图中，如果AC=6cm，AP=3cm，则△APE的周长是______cm．
21.(本小题10分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1，若再在图1个大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2．

(1)用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=8，ab=15，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=72时，求出图3中阴影部分的面积S3．
22.(本小题10分)
为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
(1)求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
(2)该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
23.(本小题10分)
阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM(如图1)，如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．
(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BM为△ABC的完美分割线，且CM(2)如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC=CN，求证：AN为△ABC的完美分割线；
(3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AN是它的一条完美分割线，且BN>NC，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点C1处，AC1交BN于点M.求证：BM=C1N.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，
本题考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A.x3⋅x3=x6，
则A不符合题意；
B.2x3+3x3=5x3，
则B不符合题意；
C.(2x2)3=8x6，
则C不符合题意；
D.(2+3x)(2−3x)
=22−(3x)2
=4−9x2，
则D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则以及平方差公式将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不符合题意；
B、由AC/​/BD可得∠A=∠B，∠C=∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不符合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知，
这个多项式为3x3−3x2+3x−3x=−x2+x−1，
∴正确的计算结果为−3x+(−x2+x−1)=−x2−2x−1．
故选：A．
先根据题意算出这个多项式，再与−3x相加即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解；A.当x=3时，2x+1x−3无意义，故A不符合题意．
B.当x≠0时，x−3x有意义，故B不符合题意．
C.当x=4、0、−2、−6时，5x+1是整数，故C不符合题意．
D.根据偶次方的非负性，得x2+1>0，即无论x为何值，3x2+1的值总为正数，故D符合题意．
故选：D．
根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解决此题．
本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵(2x+m)(x−3)=2x2−6x+mx−3m=2x2+(m−6)x−3m，
又∵展开式中不含x项，
∴m−6=0，
即m=6，
故选：D．
先将式子进行展开，再合并同类项，然后根据题意进行求解即可．
本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0.先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含x项，就是x项系数为0，进而求出m的值．
8.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴∠E=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE．
同理可得：AD=AC，
∴DE=AD+AE=AB+AC=14．
故选：A．
由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E=∠ABE，则AB=AE.同理可得，AD=AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和即可得到答案．
本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，
解得：x=2−m2，
由分式方程的解是非负数，得到2−m2≥0，且2−m2−2≠0，
解得：m≤2且m≠−2，
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∵△ACD为等腰三角形，
当AD=CD时，∠C=∠CAD=40°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=80°；
当AD=AC时，∠C=∠ADC=40°，
∴∠ADB=180°−∠ADC=140°；
当CD=AC时，∠C=40°，
∴∠ADC=180°−∠C2=70°，
∴∠ADB=180°−∠ADC=110°；
故选：D．
根据三角形内角和为180°，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
11.【答案】3.
【解析】解：∵△ABC≌△DCB，AC=8，
∴AC=BD=8，
∵BD=BE+DE，BE=5，
∴DE=3，
故答案为：3．
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
12.【答案】(a+b+c)2
【解析】解：原式=[a+(b+c)]2
=(a+b+c)2，
故答案为：(a+b+c)2．
利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】−5
【解析】解：∵a2+a−5=0，
∴a2−5=−a，a2+a=5，
∴(a2−5)(a+1)=−a(a+1)=−(a2+a)=−5，
故答案为：−5．
根据题意得a2−5=−a，a2+a=5，代入代数式(a2−5)(a+1)，即可得出答案．
本题考查了代数式求值的问题，根据题意推出a2−5=−a，a2+a=5，代入所求式子是解题关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵am=2，an=6，
∴am+n=am⋅an=2×6=12．
故答案为：12．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】6
【解析】解：如图，连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，△ABC≌△A1BC1，
∴△A1BC1是等边三角形，AB=A1B=3，
∵A、B、A1三点在一条直线上，
∴△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∵∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠CBC1=60°，
∴∠C1BA1=∠C1BC，
∵BA1=BC，
∴BD⊥CA1，CD=DA1，
∴C、A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长6．
故答案为：6
连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，根据全等三角形的性质，得出△A1BC1是等边三角形，AB=A1B=3，进而得出△ABC与△A1BC1关于直线l对称，再根据平角的定义，得出∠CBC1=60°，进而得出∠C1BA1=∠C1BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质，得出BD⊥CA1，CD=DA1，进而得出C、A1关于直线BC1对称，再根据两点之间，线段最短，得出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，进而即可得出AD+CD的最小值．
本题考查轴对称−最短问题、等边三角形的性质、三线合一的性质，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)原式=4a2−12a+9−(a2−25)
=4a2−12a+9−a2+25
=3a2−12a+34；
(2)原式=3m(x2−2xy+y2)
=3m(x−y)2．
【解析】(1)先去括号，再合并同类项即可求得；
(2)先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解．
本题主要考查了平方差公式、完全平方公式及提取公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握并运用这些公式．
17.【答案】解：m+2m2−1÷(m−1−3m+1)
=m+2(m+1)(m−1)÷(m−1)(m+1)−3m+1
=m+2(m+1)(m−1)⋅m+1m2−1−3
=m+2(m+1)(m−1)⋅m+1(m+2)(m−2)
=1(m−1)(m−2)
=1m2−3m+2，
∵m2−3m−4=0，
∴m2−3m=4，
当m2−3m=4时，原式=14+2=16．
【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据m2−3m−4=0，可以得到m2−3m=4，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】(x,−y)
【解析】解：(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；
(2)如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
∴点D1的坐标为(4,−4)；
(3)解：∵点P坐标为(x,y)，
∴点P关于x轴对称点坐标为(x,−y)．
故答案为：(x,−y)．
(1)先在坐标系中描出A、B、C、D，然后顺次连接A、B、C、D即可；
(2)根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数先描出A、B、C、D对应点A1、B1、C1、D1的位置，再顺次连接A1、B1、C1、D1，最后写出D1的坐标即可；
(3)根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
本题考查了在坐标系中描点，坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
19.【答案】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=180°−∠AEC−∠ACE=180°−90°−30°=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°．
又∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=50°+30°=80°．
【解析】由CE⊥AB，可得出∠AEC=90°，结合三角形内角和定理，可求出∠CAE的度数(即∠BAC的度数)，由AD平分∠BAC，利用角平分线定义，可求出∠BAD的度数，再由∠ADC是△ABD的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠ADC的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，求出∠BAD的度数是解题的关键．
20.【答案】(1)如图，点E即为所求．
(2)9
【解析】(2)∵MN垂直平分线段PC，
∴EP=EC，
∴△APE的周长=AP+AE+EP=AP+AE+EC=AP+AC=3+6=9(cm)，
故答案为：9．
(1)连接PC，作线段PC的垂直平分线MN交AC于点E，连接PE，点E即为所求．
(2)证明△PAE的周长=PA+AC即可．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由图可知：S1=a2−b2，S2=2b2−ab；
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，
∵a+b=8，ab=15，
∴S1+S2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=64−45=19；
(3)由图可知：S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
∵S1+S2=72，
∴S1+S2=a2+b2−ab=72，
∴S3=12(a2+b2−ab)=36．
【解析】(1)由图可知：S1=a2−b2，S2=2b2−ab；
(2)由已知可得S1+S2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=64−39=25；
(3)由图可知：S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，再由S1+S2=a2+b2−ab=40即可求解．
本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为(x+150)元，
依题意得：18000x=2×13500x+150，
解得：x=300，
经检验，x=300是原方程的解，且符合题意，
∴x+150=300+150=450．
答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元．
(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶(20−y)组，
依题意得：300(20−y)+450y≤8000，
解得：y≤403，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
【解析】(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为(x+150)元，利用数量=总价÷单价，结合用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用135000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶(20−y)组，利用总价=单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】72 108
【解析】(1)解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠C=(180°−∠BAC)÷2=144°÷2=72°，
∵BM为△ABC的完美分割线，且CM∴∠ABM=∠BAC=36°，
∴∠AMB=180°−∠BAC−∠ABM=180°−36°−36°=108°
故答案为：72，108；
(2)证明：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=36°，
∵AC=CN，
∴∠CAN=∠CNA=12(180°−∠C)=72°，
∴∠BAN=∠BAC−∠NAC=108°−72°=36°，
∴∠BAN=∠B，
∴NA=NB，
∴△ABN、△ACN均为等腰三角形，
∴AN为△ABC的完美分割线；
(3)证明：∵AN是△ABC的一条完美分割线，
∴AN=CN，AB=BN，
∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，
∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，
∴∠BAN=2∠CAN，
∵∠CAN=∠C1AN，
∴∠BAN=2∠C1AN，
∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，
∴∠C1AN=∠BAM，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵∠C=∠C1，
∴∠C1=∠B，
∵AC=AC1，
∴AC1=AB，
∴△AC1N≌△ABM(ASA)，
∴NC1=BM．
(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=(180°−∠BAC)÷2，∠AMB=180°−∠BAC−∠ABM即可求出两角的度数；
(2)根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN、△ACN均为等腰三角形，即可得证结论；
(3)根据ASA证△AC1N≌△ABM，即可得证结论．
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．