第六章平面向量及其应用综合复习训练

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第六章平面向量及其应用综合复习训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（    ）A．有一个角是的等腰三角形B．等边三角形C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形2．扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（    ）A． B．0 C． D．3．已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（    ）A． B． C． D．4．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（    ）A．点P在线段AB上B．点P在线段AB延长线上C．点P在线段AB反向延长线上D．点P在直线AB外5．已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（    ）A． B． C．1 D．36．已知，，且，则向量在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．7．已知向量，为单位向量，，若，求与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．8．在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（    ）A． B．4 C． D．二、多选题9．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍D．若，则外接圆半径为10．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（    ）A．，的夹角是 B．，的夹角是或C．或 D．或12．设P是所在平面内的一点，则A． B．C． D．三、填空题13．平面向量满足，则的最小值为 ．14．平面向量，，满足，（且），则的取值范围是 .15．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．  16．如图所示，在四边形中，已知，与以为直径的半圆相切于点，且，若，则 ；此时 .四、解答题17．已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.18．已知向量，，记函数.（1）求函数在上的取值范围；（2）若为偶函数，求的最小值.19．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△中，内角A，B，C所对的边分别为.且满足_________.（1）求；（2）已知，△的外接圆半径为，求△的边AB上的高.20．在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.21．如图，平行四边形中，点在线段上，与交于点，设，用向量的方法探究：在线段上是否存在点，使得点恰好为的一个三等分点，若有，求出满足条件的所有点的位置；若没有，说明理由.参考答案：1．D【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D2．C【分析】由题设有，，，，即可得，分析使的最小时的位置关系，进而求的最小值.【详解】由题设，，，∴，∴，，∴，要使的最小，即同向共线.又，∴.故选：C3．B【分析】作出示意图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线BD，则点C应该在点D的两侧，进而得到答案.【详解】如图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线，垂足为D，由题意可知，若三角形有两个，则点C应在点D的两侧（如：），而AB=2，所以BC的范围是.故选：B.4．C【分析】由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.【详解】∴点P在线段AB反向延长线上故选：C.5．A【解析】当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值.【详解】在中，，，可得，当点在上运动时，设，则，所以，又因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值.当点在上运动时，设，则，所以，又因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值，综上可得，的最小值是.故选：A.【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.6．B【解析】由向量垂直结合数量积的定义可求出，进而可求出向量在方向上的投影.【详解】设与的夹角为，∵，∴，∴，∴向量在方向上的投影为，故选:B.【点睛】本题考查了由向量垂直求向量的夹角，考查了数量积的定义，考查了向量投影求解，属于基础题.7．C【分析】由向量的数量积的运算公式和向量的夹角公式，准确运算，即可求解.【详解】由向量的夹角公式，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．C【分析】根据题意得到，代入计算得到答案.【详解】，所以.故选：C.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．ACD【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可.【详解】对A，因为在中，所以 ，解得，所以根据正弦定理知，故A正确；对B，易知角C为最大角，则，，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则，所以，即，又，所以，所以 ，故C正确；设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确；故选：ACD.10．AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；【详解】解：对于A选项，，可以得出，∴，故A正确；对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；对于C选项，假设，则，，则，所以与矛盾，∴，故C正确，对于D选项，取，满足，此时，故D错误；故选：AC.11．BC【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.【详解】设的夹角为，由题可知，，，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，则，解得，与的夹角为或，或，或.故选: BC【点睛】向量模的最值问题转化为函数最值问题研究是数形结合典型形式.注意向量夹角的范围，防止漏解.12．CD【解析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故 即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.13．【分析】设，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.【详解】解析：几何意义+等和线由题记，则由，得，且．作图，如右图所示：为正三角形，，由，得C在直线上，又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，∴．故答案为：．14．【解析】把向量，，，置于单位圆中，找到，再转化为代数关系，分类讨论.【详解】如图，单位圆中，，，，，根据向量加法的平行四边形法则：且；且；，，，即重合，，且，所以.又，，当，不共线时，有，又，.得，当，共线时，，，   若，，得，，     ；，若，   综上：的范围是故答案为：【点睛】利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,15．或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．16． 1 【分析】利用向量的线性运算、数量积运算化简，由此求得，即.再利用向量线性运算和数量积运算，求得.【详解】依题意,因为，是半圆的直径，则，所以，所以，故.而，所以，所以，即..故答案为：；.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算、数量积运算，属于中档题.17．(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解.（2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）解：∵，由正弦定理得：，即，则，又在中，，，故，故.（2）由题可知，设,则，由正弦定理得：，即，解得，由余弦定理得，解得；又，故.由余弦定理得，即，解得，则，.的面积为.18．（1）；（2）.【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.【详解】解：（1）则∵，∴的取值范围为.（2）因为为偶函数，所以因此当时.【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19．答案不唯一，具体见解析【分析】选择条件①:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案.选择条件②:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案.选择条件③:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案.【详解】选择条件①：（1）因为,所以由正弦定理得,即,故.又,所以.由所以.（2）由正弦定理得,由余弦定理得,所以.于是得的面积,所以.选择条件②：（1）因为,由正弦定理得,即,于是.在,所以,.（2）由正弦定理得,由余弦定理得,所以,于是得的面积,所以.选择条件③：（1）因为,所以由正弦定理得,所以,因为,所以,又,所以,所以.（2）由正弦定理得,由余弦定理得,所以.于是得的面积,所以.【点睛】本题考查解三角形相关知识.属于基础题.熟练掌握正余弦定理、三角形的面积公式是解本题的关键.20．（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.21．存在；是线段的中点.【解析】根据的位置结合向量共线进行分类讨论，联立方程组求解.【详解】若, ，，又，且与是共线向量，则,，是不共线的向量，，解得，此时满足，故满足条件的点是存在的，它是线段的中点.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，需熟记共线定理的内容，属于中档题.