高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列同步训练题

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列同步训练题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知等差数列与各项为正的等比数列满足：，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．等比数列满足，则（ ）
A．30B．62C．126D．254
3．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
4．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A．244B．243C．242D．241
5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．已知数列满足，则数列的第2024项为（ ）
A．B．C．D．
8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
二、多选题
9．已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为4B．
C．D．数列的公比为
10．已知数列中，，，，记的前项和为，则（ ）
A．中任意三项都不能构成等差数列B．
C．D．
11．已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．可能为1B．数列是等比数列
C．D．若，的最大值为64
12．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
三、填空题
13．已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ．
14．已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 .
15．在各项均为正数的等比数列中，，则 .
16．如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则 ，所有圆弧的总长度为 ．
四、解答题
17．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
18．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.
(1)若，求的通项公式；
(2)若，求.
19．已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最大值．
20．已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
21．治理垃圾是市改善环境的重要举措.去年市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传､环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.
(1)写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】根据成等比数列，由已知可得公比即可得到,.
【详解】设等差数列公差为，，则，则，，
设等比数列的公比为，其首项为2，
则，，即，
即，解之得或（舍，
则，，AB错误；
又，
，C正确D错误．
故选：C．
2．C
【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得，
则，
所以，
因此.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，由特殊值，即可判断ABD，再根据等比数列的定义，以及欧拉函数，即可判断C.
【详解】因为，，，所以，故A错误；
且，故B错误；
因为所有偶数与不互素，所有奇数与互素，所以，，
所以，即数列是等比数列，故C正确；
，，所以，故D错误.
故选：C
4．A
【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，且，
设等比数列的公比为，
则，得，
.
故选：A
5．B
【分析】先利用求出数列的通项公式，再通过恒成立求的取值范围.
【详解】由得，
两式相减得，即，
又，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
若数列是递增数列
则恒成立，
即恒成立，
即恒成立，又，
所以.
故选：B.
6．B
【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可.
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则，
由等比数列性质知，所以，故选项A错误；
又，因为，所以，所以，
则，故先增后减，所以，故选项B正确；
若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误.
故选：B
7．A
【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案.
【详解】即
.
故选：A.
8．B
【分析】结合已知条件求出的通项公式，并求出，然后利用裂项相消法即可求解.
【详解】依题意，，，
则，
则
，即，而，解得，
所以满足条件的正整数的最大值为.
故选：B
【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
9．BCD
【分析】根据两个数列的基本量运算，易于判断选项.
【详解】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】由等比数列的定义、通项公式及求和公式可判断B,C；由等差中项和等比数列的通项公式可判断A；由裂项相消法求和结合数列的单调性可判断D.
【详解】因为，，可得，
则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
即，故B错误；
假设中任意三项都构成等差数列，可设，
则成等差数列，可得，即，
即有，由，可得，
由，可得，则不成立，故A正确；
，故C正确；
，所以，
，
因为为递增数列，所以
可得，故D错误.
故选：AC.
11．BC
【分析】利用递推公式求出范围可判断A；对递推式变式结合等比数列定义可判断B；由，结合等差数列求和公式利用分组求和可判断C；计算出可判断D.
【详解】对于A，当时，，又，所以，故A错误；
对于B，由，得，即，由选项A知，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，为奇数时，，
为偶数时，，
因为，所以的最大值不可能为64，故D错误；
故选：BC
12．BCD
【分析】根据给定的信息求出递推公式可判断A；变形递推公式根据等比数列的定义可判断B；求出通项公式，利用通项公式求出、前项和可判断CD．
【详解】对于A，由题意，得，故A错误；
对于B，，又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C，，即，所以，故C正确；
对于D，，
又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据给定的信息求出递推公式及通项公式.
13．1
【分析】由等比数列前项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比，从而由即可得解.
【详解】设公比为，由题意，
所以，又，
所以，解得满足题意，
所以.
故答案为：1.
14．/
【分析】根据给定条件，结合等比数列的通项求出的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由正项等比数列的公比为2，得，又，
因此，解得，且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
15．3
【分析】利用等比数列的性质，结合对数运算性质求解即可.
【详解】解：.
故答案为：3
16． 8
【分析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，由此可得第一空答案；分析可得每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，所以是以为首项，为等边的等比数列，利用等比数列求和公式即可得出答案.
【详解】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，
所以，，即；
，，
以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，
所以是以为首项，为等边的等比数列，
则圆弧总长．
故答案为：8；.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
18．(1)
(2)或21
【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可.
（2）首先由得公比，结合得公差，由此即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由得：，解得（舍去），，于是.
（2）由得，解得或.
当时，由得，∴；
当时，由得，∴，
综上所述，故或21.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据求解即可；
（2）先利用分组求和法求出，再建立不等式，构造新的数列并判断其单调性即可得解.
【详解】（1）由，①
当时，，解得（舍去），
当时，，②
由①②得，即，
因为，所以，
当时，由，得，矛盾，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以
，
，
由，得，
即，即，
令，
则
，
当时，，所以数列从第项起是递减数列，
又，
所以满足不等式的正整数的最大值为．
【点睛】思路点睛：已知数列的前项和，求通项公式的步骤：
（1）当时，；
（2）当时，根据可得出，化简得出；
（3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为.
20．(1)（）
(2)
【分析】（1）先求出，当时，，再检验是否符合；
（2）利用分组求和求解.
【详解】（1）∵点在直线的图象上，
∴，即
当时，
当时，
又符合上式，∴（）
（2）由题设可知
则
21．(1)
(2)现有的治理措施是有效的，理由见解析
【分析】（1）设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列，易得当时，是首项为90，公差为-10的等差数列，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列求解；
（2）设为数列的前项和，得到，分和，讨论其单调性即可.
【详解】（1）解：设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为-10的等差数列，
所以；
，
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，市的年垃圾排放量的表达式为
（2）设为数列的前项和，则.
由于，
，
由（1）知，时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，所以为递减数列，
于是，因此.
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的.