第四章数列综合复习训练

这是一份第四章数列综合复习训练，共14页。
第四章数列综合复习训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若数列是等差数列，且，则（ ）A．48 B．50 C．52 D．542．已知为数列的前n项和，，则（    ）A．2 B．4 C．8 D．163．已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项4．已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ）A．36 B．54 C．64 D．1085．已知数列的前项和为，且，则（    ）A．20 B．28 C．32 D．486．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ）A．244 B．243 C．242 D．2417．已知数列满足，，且（，且），则（    ）A． B． C． D．8．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难：次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则此人（    ）A．第二天走的路程占全程的B．第三天走的路程为24里C．第一天走的路程比第四天走的路程多144里D．第五天和第六天共走路程18里二、多选题9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）A．数列是递增数列B．数列有最大项，无最小项C．当时，D．当或3时，取得最大值10．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）A．为递减数列B．C．若，，则的取值范围为D．11．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．612．已知抛物线的焦点为，点在其准线上运动，过作的两条切线与相切于两点，则以下说法正确的有（    ）A．三点共线 B．可能是直角三角形C．构成等比数列 D．一定不是等腰三角形三、填空题13．在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于 ．14．已知等比数列的公比为q，且，，，则 .15．已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为 ．16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是 ；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是 .四、解答题17．在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.问题：已知为等差数列的前n项和，若 .(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知数列满足：．(1)求，；(2)求数列的通项公式；(3)记为数列的前项和，求证：．19．已知数列的前项和为，点在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．20．已知数列满足，记数列的前项和为．(1)求；(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．21．已知等差数列的前项和为，满足，且.为等比数列的前项和，.(1)求实数的值及数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.参考答案：1．A【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可求得，而，代入即可得出答案.【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可得：，解得：，而，故选：A.2．C【分析】由直接计算即可.【详解】由题意.故选：C.3．B【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项.【详解】数列可以表示为，，，，，…，则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项.故选：B.4．B【分析】由等比数列性质得，结合等差数列求和公式即可得解.【详解】由题意，解得，所以.故选：B.5．A【分析】利用邻近两项前项和作差即可.【详解】易知.故选：A6．A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，且，设等比数列的公比为，则，得，.故选：A7．A【分析】根据题意分析可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可得结果.【详解】因为，则，且，又因为，，即，可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以.故选：A.8．D【分析】根据条件转化为等比数列基本量问题，根据首项和公比，结合选项，即可判断.【详解】由题意可知，设每天所走路程为数列，数列为等比数列，其中，，设首项为，则，得，则，，故A错误；第三天走的路程，故B错误；第四天走的路程，，故C错误；第五天和第六天共走路程为，故D正确.故选：D9．BCD【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项和公差，再根据数列的函数特性判定选项即可.【详解】因为，当时，，当时，，满足，故数列的通项公式为，易得，故数列为首项，公差的等差数列.对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确；对于选项C:因为，所以因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确；对于选项D: 由，,结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确.故选：BCD.10．BD【分析】由于为等差数列，设公差为d，求出首项和公差，可得、的表达式，即可判断B；结合，判断A；求出、的表达式，结合数列单调性，即可判断C，D.【详解】由题意知为等差数列，设公差为d，由，，得，解得，，则，，则，B正确，由，得不为递减数列，A错误，因为，由于，故，由于，，故的取值范围为，C错误，由于，故，故D正确，故选：BD11．BC【分析】设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得数列的通项公式，解不等式，求出的取值范围，即可得解．【详解】设等比数列的公比为，则，可得，又，则，解得（负值舍去），所以，，令，解得，且当时，，故当最大时，或5．故选：BC．12．AC【分析】设出抛物线方程，得准线方程、焦点坐标，设出切点坐标、点坐标，由直线与抛物线相切且点在切线上得，对于A，只需验证直线的斜率是否相等；对于B，即可推翻；对于C，只需验证是否相似，即是否垂直，即只需验证是否成立；对于D，取，即可推翻结论.【详解】不妨设抛物线方程为，则抛物线焦点为，准线为，设，，  设的方程为，联立抛物线方程，化简并整理得，，由得，所以的方程为，又点在直线上面，且，即，整理得，同理有，所以是方程的两个不同的根，所以，对于A，，同理，所以直线的斜率相等，即三点共线，故A正确；对于B，由，得，即，即一定是直角三角形，故B错误；对于C，由，所以，即，所以，设，又，所以，所以，从而，即，所以构成等比数列，故C正确；对于D，因为是方程的两个不同的根，不妨取，则，即，又， 即，所以此时，故D错误.故选：AC13．880【分析】直接利用一元二次方程根和系数的关系及等差数列的性质求出结果．【详解】由于等差数列中，若和是方程的两个根，所以，，所以．故答案为：880．14．/0.5【分析】根据等比数列，得，求出的值即可.【详解】因为等比数列的公比为q，且，，，所以，即，即，解得或（舍），故答案为：.15．【分析】由题意首先得，利用二倍角公式将方程转换为，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解.【详解】由已知得，由成等比数列，且成公比为2的等比数列，得，所以，所以，令，得到，恰好有两个根，而满足的的值有，满足的的值之和为，故所有满足条件的的和为.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是首先得到，进一步通过换元即可顺利得解.16． 【分析】根据与之间的关系分析可知，，，结合等差数列通项公式运算求解；设，可知，结合数列单调性分析求解.【详解】因为，且，若，则，可得；若，则，可得，且，可得，可知：数列奇数项、偶数项均成等差数列，当为奇数，则；当为偶数，则；综上所述：；因为，可知，设，由题意可知：，因为，可知数列为递增数列，则数列的最小项为，则，所以的取值范围是.故答案为：；.17．(1)(2)【分析】（1）根据即可求解①，根据等差数列基本量的计算即可求解②③，（2）由裂项相消即可求解.【详解】（1）若选①：在等差数列中，，当时，，也符合，∴；若选②：在等差数列中，，，解得；若选③：在等差数列中，，解得；（2）由（1）得，所以18．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）由，，可得，；（2）将已知递推式中的换成，两式相减可得数列的通项公式；（3）由裂项相消求出，利用不等式的性质即可证明.【详解】（1）数列满足：，当时，，当时，得，解得.（2）由①当时，②所以①②可得：，即，当时，也成立，所以（3）由（2）知，则，由于，所以，故，得证.19．(1)(2)【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上，可得，则有：当时，；当时，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.20．(1)(2)．【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解.（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.【详解】（1）①②②-①得，，得．当时，①式为，得，也满足上式．，数列是等差数列，所以．（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，又，得，得．令，即，即．当时，经验证，（*）式满足要求．令，则，所以当时，，即当时，式不成立．使得成立的的取值范围是．21．(1)，，(2)【分析】（1）由等差数列、等比数列前项和基本量的计算即可求解.（2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.【详解】（1）设的公差为，则，，解得，所以.因为的前项和为，所以，，，因为是等比数列，所以，即，解得，所以，公比，.（2）由（1）知，，所以，    ，所以，所以所以.