2020-2021学年江苏省常州市溧阳市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省常州市溧阳市八年级上学期期中数学试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以下四个汽车车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．CB＝DAB．∠BAC＝∠DBAC．∠ABC＝∠BADD．∠C＝∠D＝90°
3．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2cm、4cm、5cmB．15cm、20cm、25cm
C．0.2cm、0.3cm、0.4cmD．1cm、2cm、2.5cm
4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
6．下列命题中真命题的是（ ）
A．等腰三角形底边上的高是该等腰三角形的对称轴
B．三角形各边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等
C．三角形的任何一个外角都不会小于90°
D．等腰直角三角形的三条角平分线交于一点，这点刚好是这个三角形的直角顶点
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣6＝（10﹣x）B．x﹣6＝（10﹣x）
C．x+6＝（10﹣x）D．x+6＝（10﹣x）
8．如图，已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，且它的顶点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E、DF交AC于点F，连接EF．给出以下四个结论：
①AE＝CF；
②S＝S；
③△EDF是等腰直角三角形；
④BE+CF＝EF，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时，点E不与A、B重合．
上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．等腰三角形的底角度数为80°，则是它的顶角的度数为 ．
10．若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为 ．
11．如图，△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到，若BC＝6，当点E刚好移动到BC的中点时，则CF＝ ．
12．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝ ．
13．如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD＝ ．
14．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A的外角为140°，则∠DBC等于 ．
15．甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东30°方向走了3.6公里，乙往北偏西60°方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距 公里．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是中线，点E在AD的延长线上，若AD＝DE＝2，则S＝ ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
18．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为 ．
三、解答题：（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（9分）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成一个图形，请你分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴．
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求图中格点三角形ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
21．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠D＝28°，∠ECA＝100°，求∠F的度数．
22．（8分）如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O．
求证：（1）AC＝BD；
（2）CO＝DO．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：①作∠ACB的角平分线CP；
②作AB的垂直平分线MN，分别交AC、AB．CP于点E，F、H；
③连接AH、BH．
（2）若∠AHB＝90°，求EH的长．
24．（8分）匀股定理被带为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB＝BE+AE．
25．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点C关于AB的对称的点为E，点P是直线EB上的一个动点，连接AP，作∠APQ＝60°，交射线BC于点Q．
（1）如图1，连接AQ，求证：△APQ为等边三角形；
（2）如图2，当点P在线段EB延长线上时，请你补全图形，并写出线段BQ、AB、BP之间的数量关系（无需证明）．
26．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G
（1）求证：AE＝AG；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．以下四个汽车车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．CB＝DAB．∠BAC＝∠DBAC．∠ABC＝∠BADD．∠C＝∠D＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
B、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
D、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2cm、4cm、5cmB．15cm、20cm、25cm
C．0.2cm、0.3cm、0.4cmD．1cm、2cm、2.5cm
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵2+4≠5，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、∵15+20＝25，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、∵0.2+0.3≠0.4，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、∵1+2≠2.5，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，得出方程x+2x+3x＝180，求出方程的解即可．
【解答】解：设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，
则x+2x+3x＝180，
解得x＝30，
∴3x＝90，即三角形是直角三角形，
故选：A．
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：C．
6．下列命题中真命题的是（ ）
A．等腰三角形底边上的高是该等腰三角形的对称轴
B．三角形各边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等
C．三角形的任何一个外角都不会小于90°
D．等腰直角三角形的三条角平分线交于一点，这点刚好是这个三角形的直角顶点
【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否真确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高所在的直线是该等腰三角形的对称轴，原命题是假命题；
B、三角形各边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，是真命题；
C、钝角三角形的一个外角会小于90°，原命题是假命题；
D、等腰直角三角形的三条角平分线交于一点，这点不是这个三角形的直角顶点，原命题是假命题；
故选：B．
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣6＝（10﹣x）B．x﹣6＝（10﹣x）
C．x+6＝（10﹣x）D．x+6＝（10﹣x）
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC+BC＝AB，即x+6＝（10﹣x）．
故选：D．
8．如图，已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，且它的顶点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E、DF交AC于点F，连接EF．给出以下四个结论：
①AE＝CF；
②S＝S；
③△EDF是等腰直角三角形；
④BE+CF＝EF，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时，点E不与A、B重合．
上述结论中始终正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△ADE≌△CDF，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝45°，AD⊥BC，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S＝S，故①正确，
∴S＝S＝S，故②正确，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，故③正确，
∵EF＝AE+AF，
∴EF＝CF+AF，故④正确，
故选：D．
二、填空题：（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．等腰三角形的底角度数为80°，则是它的顶角的度数为 20 ．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数．
【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，
∴顶角＝180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：20°．
10．若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为 20 ．
【分析】根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为12、16，
∴直角三角形的斜边长为＝20，
故答案为：20．
11．如图，△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到，若BC＝6，当点E刚好移动到BC的中点时，则CF＝ 3 ．
【分析】根据平移性质得出BC＝EF，BE＝CF，进而解答即可．
【解答】解：由平移的性质可得：BC＝EF，BE＝CF，
∵BC＝6，点E刚好移动到BC的中点，
∴BE＝EC＝CF＝3，
故答案为：3．
12．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝ 18 ．
【分析】根据“全等三角形对应边相等”的性质可直接求得结果．
【解答】解：如图，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝18，
即x＝18，
故答案为：18．
13．如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD＝ 15° ．
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质证明∠DAE＝∠DEA＝∠CBE＝∠CEB＝75°即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴AB＝BE＝DC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠DCE＝30°，
∵AB＝BE＝CE＝CD，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝75°，
∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
14．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A的外角为140°，则∠DBC等于 40° ．
【分析】根据AB＝AC，则∠C＝∠ABC，再由BD＝BC，可得出∠C＝∠CBD，由∠A的外角为140°，可求出∠C，再求出∠DBC即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠CBD，
∵∠A的外角为140°，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝∠CBD＝70°，
∴∠CBD＝40°，
故答案为40°．
15．甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东30°方向走了3.6公里，乙往北偏西60°方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距 6 公里．
【分析】根据甲、乙两人所走的方向，可知甲、乙两人的路线可构成直角三角形，两人的间距为直角三角形的斜边，根据勾股定理可求解出．
【解答】解：设甲往北偏东30°的方向的距离为AB，乙往往北偏西60°的方向的距离为AC．
根据勾股定理可得：AB+AC＝BC，
所以BC＝（公里），
故答案为：6．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是中线，点E在AD的延长线上，若AD＝DE＝2，则S＝ 6 ．
【分析】先证得△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝CE，再利用勾股定理逆定理证得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面积，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴△ABD的面积＝△ECD的面积，AB＝CE＝3，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积，
∵AE＝AD+DE＝4，AC＝5，CE＝3，
∴AE+CE＝AC，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝CE×AE＝×3×4＝6，
故答案为：6．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 ．
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S＝MN•AC＝AM•MC，
∴MN＝＝．
18．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为 15°或45° ．
【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，
∴∠ADE＝45°，
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，
∴△AE′M为等边三角形，
∴∠E′AM＝60°，
∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AD＝AE′，
∴∠ADE′＝15°，
故答案为：15°或45°．
三、解答题：（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区城内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（9分）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成一个图形，请你分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴．
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求图中格点三角形ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）先根据勾股定理求出AC，BC，AB，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．
【解答】解：（1）如图．
S＝S﹣S﹣S﹣S
＝6×5﹣×5×5﹣×3×1﹣×6×2
＝30﹣12.5﹣1.5﹣6
＝10；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC＝6+2＝40，BC＝3+1＝10，AB＝5+5＝50，
∴AC+BC＝AB，
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形．
21．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若∠D＝28°，∠ECA＝100°，求∠F的度数．
【分析】（1）证明△EAC≌△FDB（SAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△EAC和△FDB中，
，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
∴∠E＝∠F；
（2）解：由（1）得：△EAC≌△FDB，
∴∠ECA＝∠FBD＝100°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠FBD＝180°﹣28°﹣100°＝52°．
22．（8分）如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O．
求证：（1）AC＝BD；
（2）CO＝DO．
【分析】（1）由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；
（2）由全等三角形的性质得∠CBA＝∠DAB，则OA＝OB，进而得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）由（1）得：Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CBA＝∠DAB，
∴OA＝OB，
又∵AD＝BC，
∴CO＝DO．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：①作∠ACB的角平分线CP；
②作AB的垂直平分线MN，分别交AC、AB．CP于点E，F、H；
③连接AH、BH．
（2）若∠AHB＝90°，求EH的长．
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CP，线段AB的垂直平分线MN即可．
（2）解直角三角形分别求出EF，FH即可．
【解答】解：（1）如图，射线CP，直线MN即为所求．
（2）由作图可知，AF＝BF，MN⊥AB，
∴HA＝HB，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵∠AHB＝90°AF，FB，
∴FH＝AB＝5，
连接EB，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，设AE＝EB＝x，
在Rt△ECB中，则有x＝（8﹣x）+6，
∴x＝，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝，
∴EH＝EF+FH＝+5＝．
24．（8分）匀股定理被带为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB＝BE+AE．
【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴S＝S+S＝BD•AE+BD•CD＝AE•AE+AE•BE＝BE+BD•BE，
又∵S＝S+S＝AB•BC+CD•DE＝AB•AB+BE•DE＝AB+BE•DE，
∴BE+AE•BE＝AB+BE•DE，
∴AB＝BE+BD•BE﹣BE•DE，
∴AB＝BE+（BD﹣DE）•BE，即AB＝BE+AE．
25．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点C关于AB的对称的点为E，点P是直线EB上的一个动点，连接AP，作∠APQ＝60°，交射线BC于点Q．
（1）如图1，连接AQ，求证：△APQ为等边三角形；
（2）如图2，当点P在线段EB延长线上时，请你补全图形，并写出线段BQ、AB、BP之间的数量关系（无需证明）．
【分析】（1）如图1中，作∠BPF＝60°交AB于点F，连接AQ．证明△PBQ≌△PFA（ASA），可得结论．
（2）结论：BQ＝BP+AB．如图2中，在BD上取一点F，使得BF＝PB，连接AQ．证明△BPA≌△FPQ（SAS），推出AB＝QF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，作∠BPF＝60°交AB于点F，连接AQ．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点E与点C关于AB对称，
∴∠EBA＝∠CBA＝60°＝∠BPF，
∴∠PFB＝60°．
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，AFP＝120°＝∠PBQ．
∵∠BPQ+∠QPF＝60°，∠APF+∠QPF＝60°，
∴∠BPQ＝∠APF，
在△PBQ和△PFA中，
，
∴△PBQ≌△PFA（ASA），
∴PQ＝PA，
∵∠APQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
（2）解：补全图形，如图2所示：
②解：结论：BQ＝BP+AB．
理由：如图3中，在BD上取一点F，使得BF＝PB，连接AQ．
∵∠FBP＝60°，BF＝BP，
∴△FBP是等边三角形，
∴∠BPF＝∠APQ＝60°，
∴∠APB＝∠FPQ，
∵PB＝PF，PA＝PQ，
∴△BPA≌△FPQ（SAS），
∴AB＝QF，
∴BQ＝BF+FQ＝BP+AB．
26．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点G
（1）求证：AE＝AG；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，若∠C＝30°，求证：AG＝GF＝FC．
【分析】（1）先由直角三角形的性质得∠AGB+∠ABG＝90°，∠BED+∠DBE＝90°，再由角平分线定义得∠ABG＝∠DBE，然后证出∠AGB＝∠AEG，即可得出结论；
（2）先证BG＝CG，AE＝BE，再证△AEG是等边三角形，得AG＝GE＝AE＝BE，然后由平行线的性质得∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，则∠GEF＝∠GFE，得GE＝GF，进而得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠AGB+∠ABG＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BED+∠DBE＝90°，
又∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠DBE，
∴∠AGB＝∠BED，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠AGB＝∠AEG，
∴AE＝AG；
（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝30°，
∴∠CBG＝∠C，∠BAD＝∠ABG，∠AGB＝90°﹣30°＝60°，
∴BG＝CG，AE＝BE，
由（1）得：AE＝AG，
∴△AEG是等边三角形，
∴AG＝GE＝AE＝BE，
又∵EF∥BC，
∴∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴GE＝BE＝FC＝GF，
∴AG＝GF＝FC．