2024届高三星云二月线上调研考试数学试题

这是一份2024届高三星云二月线上调研考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合M=x∈Zlg2xb>0)上一点(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1．
A．θ1θ2D．θ1和θ2的大小关系无法确定
二、多选题
9．在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1，则（ ）
A．直线AA1与C1D1所成的角为60∘
B．平面AA1D1D与平面BB1C1C的夹角为60∘
C．AA1//平面C1BD
D．AA1⊥平面A1BD
10．设F为双曲线C:x2−y2=2的右焦点，O为坐标原点．若圆x2+(y−m)2=4交C的右支于A，B两点，则（ ）
A．C的焦距为22B．|OA|2+|OB|2为定值
C．|OA|+|OB|的最大值为4D．|FA|+|FB|的最小值为2
11．已知数列{an}：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，⋯，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）
A．a20=21
B．an(n+1)2=n2−2n+2
C．存在正整数m，使得am，am+1，am+2成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数m，使得am+am+1+am+2=156
三、填空题
12．若tanθ=2，则1−cs2θ1+cs2θ= ．
13．已知函数f(x)=x(1−ex)，点(m,n)在曲线y=f(x)上，则f(m)−f(n)的取值范围是 ．
14．在四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=CD=3，AD=6，则四面体ABCD体积的最大值为 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PA=PB=AD=2．
(1)证明：PC⊥BD；
(2)求PC与平面PAD所成角的正弦值．
16．设F为抛物线C:y2=4x的焦点，P为C的准线与x轴的交点，且直线l过点P．
(1)若l与C有且仅有一个公共点，求l的方程；
(2)若l与C交于A，B两点，且FA⋅FB=−4，求△FAB的面积．
17．记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和．已知Snn为等比数列，bn+bn+1=−1，a3=2S2=8，S3−T3=15．
(1)求an，bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前2n项和．
18．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(X≤x)．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)−F(38)；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为Gt=0,tt2>0，证明：P(T>t1|T>t2)=P(T>t1−t2)；
（ⅱ）若第n天元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的概率．
附：若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2)，则P(|Y−μ|0,则am+d2=amam+2d，则故d=0,故矛盾，所以不可能存在连续三项成等比数列，故C错误；
对于D，对am,am+1,am+2的位置分以下三种情况讨论
①若am,am+1,am+2在同一行，设在第n行，由am+am+1+am+2=156得am+1=52，
设am+1=52为此行中第k项，则am+1=1+(k−1)n−1=52，即(k−1)n−1=51=1×51=3×17，其中k,n∈N*,k≤n，
所以k=2n=52或k=4n=18，
第52行的数字依次为：1，52，103，…，所以am=1,am+1=52,am+2=103满足条件，此时第51行最后一项为第51(51+1)2=1326项，故m=1327 ；
第18行的数字依次为：1，18，35，52，69，…，所以am=35,am+1=52,am+2=69满足条件，此时第17行最后一项为第17(17+1)2=153项，故m=156；
②若am,am+1,am+2中am在第n行的最后一位， am+1,am+2在第n+1行的前两位，
则am=an(n+1)2=n2−2n+2，am+1=1,am+2=n+1，
由am+am+1+am+2=156得n2−2n+2+1+n+1=n2−n+4=156，
即n2−n−152=0，对于n∈N*无解；
③若am,am+1,am+2中am,am+1在第n行的最后两位，am+2在第n+1行的第一位，
则am+1=an(n+1)2=n2−2n+2，am=am+1−n−1=n2−3n+3，am+2=1，
由am+am+1+am+2=156得2n2−5n−150=0，解得n=10，
第10行的最后两位am=73,am+1=82，第11行第一位数为am+2=1，满足条件，此时第10行最后一项为第10(10+1)2=55项，故m=54，
综上所述，存在有且仅有3个不同的正整数m，使得am+am+1+am+2=156，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题将问题转化为数表问题，数表中的规律与数列性质结合可以更好的解决数列问题.
12．4
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为tanθ=2，所以1−cs2θ1+cs2θ=1−1+2sin2θ1+2cs2θ−1=sin2θcs2θ=tan2θ=4.
故答案为：4
13．[−1e,0]
【详解】首先将f(m)−f(n)转化为n−fn，并利用导数求函数fx值域，即n的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
f′x=1−1+xex，设gx=1−1+xex，
g′x=−2+xex，
当x0，gx在区间−∞,−2单调递增，
当x>−2时，g′x0，
且x0，g0=0，
所以当x0，即f′x>0，函数fx在区间−∞,0上单调递增，
当x>0时，gx0；
当x∈(a−2,a)时，f′(x)