湖南省衡阳市衡阳县五校联考2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省衡阳市衡阳县五校联考2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了要使式子有意义，的取值范围是，锐角满足，且，则的取值范围为，当时，等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（每小题3分，共36分）
1.要使式子有意义，的取值范围是（）
A.B.C.且D.且
2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（）
A.13B.15C.18D.13或18
3.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（）
A.B.C.D.
4.锐角满足，且，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
5.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（）
A.B.C.D.
6.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）
A.B.C.D.
7.当时，（）
A.B.C.D.
8.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）
A.B.且C.D.
9.如图，已知矩形的顶点，分别落在轴、轴上，，，则点的坐标是（）
A.B.C.D.
10.如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（）
A.B.C.D.
11.如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.如图，垂直于轴的直线分别与抛物线和抛物线交于，两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，则的值为（）
A.B.C.D.
二.填空题（每小题3分，共18分）
13.已知，为实数，且，则的值为____________.
14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为____________.
15.如图，在边长为3的菱形中，点在边上，点为延长线与延长线的交点，若，则的长为____________.
16.在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是____________.
17.已知函数图象上两点，，其中，则与的大小关系是___________（填“＜”、“＞”或“＝”）
18.如图，已知动点在函数的图象上，轴于点，轴于点，延长至点，使，延长至点，使.直线分别交，轴分别于点，.当时，图中阴影部分的面积等于_________.
三.解答题（19～21题每小题6分，22～23每小题8分，24～25每小题10分，26题12分，共66分）
19.（6分）化简：，并将你所喜欢的值代入化简结果进行计算.
20.（6分）关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围.
21.（6分）已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于，求证：.
22.（8分）如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船，此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东45°方向，船测得渔船在其南偏东53°方向，已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援?（参考数据：，，，）
23.（8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释.
24.（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：.
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
25.（10分）在锐角中，点、分别在、上，于点，于，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
26.（12分）如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形.
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形?若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1-5DABBA6-10BDCAA11-12CD
13.-1或-714.215.
16.2417.>18.
19.解：
，
取时，原式.
20.（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根.
（2）解：，
，.
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为.
21.证明：连接，
，是中线，
是的对称轴.
，.
，（两直线平行，内错角相等），
.
又，
.
（相似三角形的对应边成比例）.
.
.
22.解：如图作于.
在中，，
，设，则，
在中，
，
，
解得，
，
，
，
船到的时间小时，船到的时间小时，
船至少要等待0.94小时才能得到救援.
23.解：（1）画树状图得：
的可能结果有、、、、、、、及，
取值结果共有9种；
（2）这样的游戏规则不公平.
将（1）中结果分别代入中得
，7，2，0，8，3，-3，5或0
（甲获胜）（乙获胜），
（甲获胜）（乙获胜），
这样的游戏规则对甲有利，不公平.
24.解：（1）当时，，
元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元.
（2）由题意得，，
，
当时，有最大值4000元.
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元.
（3）由题意得：
令，
解得：，.
，抛物线开口向下，
结合图象可知：当时，元，
又，
当时，元，
设政府每个月为他承担的总差价为元，
.
.
随的增大而减小，
当时，有最小值500元.
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
25.（1）证明：于点，于，
，
，
在和中，，，
（2）解：，
.
，，
.
26.解：（1）设所求抛物线的解析式为，
抛物线经过点，，三点，则由题意可得：
，解得.
所求抛物线的解析式为：.
（2）点是抛物线上一动点，且在轴下方，
，
即，表示点到的距离.
是平行四边形的对角线，
，
与之间的函数关系式为：，的最大值为.
（3）当，且时，平行四边形是正方形，
此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上，
存在点，使平行四边形为正方形，
此时点坐标为.