2024年中考数学专题训练 专题05 定角定高（专项训练）（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题05 定角定高（专项训练）（原卷版+解析），共12页。试卷主要包含了【问题提出】，问题提出等内容，欢迎下载使用。


2．（2023春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
3．【问题提出】
（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
4．（2023•渭滨区二模）问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
专题05 定角定高（专项训练）
1．（2023•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【答案】4
【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠ABC＝180°，
∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，
过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，
设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，
∴ON+OA＝OF+ON＝x，
∵OA+ON≥AK，
∴x≥2，
∴x≥2，
∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，
∴△AEF面积的最小值是4．
2．（2023春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
【答案】
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，
∵∠B＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝3，AM＝3，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝AD＝，AN＝，
∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，
∴∠MAE+∠DAF＝60°，
又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠MAE＝∠AFD，
又∵∠AME＝∠N＝90°，
∴△AFN∽△EAM，
∴，
设ME＝x，则AE＝＝，
∴AF＝＝，
∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，
∴HE＝AE＝×，
∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），
∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴△AEF面积＝×（）≥×2×，
∴△AEF面积的最小值为，
故答案为．
3．【问题提出】
（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
【解答】解：（1）如图①中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°
设 OA＝OB＝OC＝r，
则OE＝r，BC＝2BE＝r，
∵AO+OE≥AD，AD＝4，
∴r+r≥4，
解得：r≥8+4，
∴BC＝r≥8+8，
∴BC最小值为8+8
∵S△ABC＝BC•AD，
∴△ABC面积的最小值为：×（8+8）×4＝16+16；
（3）分别延长AB、DC交于点M，如图②所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB＝CD＝2，
∴BM＝2，CM＝2，AD＝DM＝2+2，
∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（2+2）2﹣×22＝4+4，
∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，
∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，过点O作OJ⊥DF于点J．
设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝r，
又∵OJ+OC≥CD，
∴r+r≥2，
∴r≥4﹣2，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝4﹣4，
∴S△CE′F最小＝×（4﹣4）×2＝4﹣4，
∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝4+4﹣（4﹣4）＝8．
（3）如图③中，将△BKM绕点K顺时针旋转得到△KCM′，此时N，C，M′共线，作△KNM′的外接圆⊙O，连接OK，ON，OM′，过点O作OH⊥NM′于点H．
设OK＝ON＝OM′＝r，则NM′＝r，OH＝r，
∵OK+OH≥KC，
∴r+r≥6，
∴r≥4，
∴NM′≥r＝4，
∴△KNM′的面积的最小值为×4×6＝12（m2），
∴△BMK的面积+△KCN的面积的最小值为12，
∴五边形AMKND的面积的最大值＝7×12﹣12＝（84﹣12）（m2），
∴种植乙花面积的最大值为（84﹣12）（m2）．
4．（2023•渭滨区二模）问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图①所示：
则∠ACB＝90°，
∴Rt△ACB即为所求；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示：
则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，
设 OA＝OB＝OC＝r，
则OE＝r，BC＝2BE＝r，
∵AO+OE≥AD，AD＝3，
∴r+r≥3，
解得：r≥2，
∴BC＝r≥2，
∴BC最小值为2，
∵S△ABC＝BC•AD，
∴△ABC面积的最小值为：×2×3＝3；
（3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下：
分别延长AB、DC交于点M，如图③所示：
则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB＝CD＝6m，
∴BM＝6m，CM＝6m，AD＝DM＝（6+6）m，
∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（6+6）2﹣×62＝（36+36）m2，
∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，
∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝rm，
又∵OC+OD≥CD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝（12﹣12）m，
∴S△CE′F最小＝×（12﹣12）×6＝（36﹣36）（m2），
∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝36+36﹣（36﹣36）＝72（m2）．