2024年中考数学专题训练 专题09 倍长中线模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题09 倍长中线模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析），共25页。试卷主要包含了【问题情境】，阅读理解，问题探究等内容，欢迎下载使用。

1．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为 ．
5．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
6．【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为 ．
【类比探究】
如图②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的长．
【应用2】如图④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
7．阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
8．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
9．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）
（2）AD的取值范围是
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
10．问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
（2）AD的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
专题09 倍长中线线模型综合应用（专项训练）
1．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【答案】B
【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，
∠ADB＝∠CDM，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM＝AB，
又∵∠DAB＝∠CAD，
∠DAB＝∠CMD，
∴∠CMD＝∠CAD，
∴CA＝CM＝AB，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠BAC不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
C、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；
D、若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，正确．
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
【答案】80
【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．
【答案】1＜AD＜4
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝5，AC＝3，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜AE＜8，
1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为 ．
【答案】
【解答】解：延长AE至点G，使得AE＝EG，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
在△ADE和△GBE中，
，
∴△ADE≌△GBE（SAS），
∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，
过点B作BH⊥GE于点H，
在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴GH＝＝，BH＝＝，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∴AG＝AH+GH＝8，
∴AE＝GE＝4，
过点D作DM∥EF，交BC于点M．
∴，
设EF＝x，则DM＝2x，
∵DM∥EF，
∴，
∴AF＝7x，
∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，
∴x＝，
∴EF＝，
故答案为：．
5．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
【解答】证明：方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．
又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF．
∴AB＝CD．
6．【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为 ．
【类比探究】
如图②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的长．
【应用2】如图④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
【解答】解：【问题情境】延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，如图①，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴12﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10．
故答案为：2＜AD＜10；
【类比探究】DF与BC的数量关系为：BC＝2DF．理由：
延长DF至点G，使FG＝DF，连接AG，如图，
则DG＝2DF．
∵DF是△ADE的边AE上的中线，
∴EF＝AF，
在△DEF和△GAF中，
，
∴△DEF≌△GAF（SAS），
∴DE＝AG，∠E＝∠GAF，
∴DE∥AG，
∴∠EDA+∠DAG＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠BDC＝∠GAD．
∵DB＝DE，
∴DB＝AG．
在△BDC和△GAD中，
，
∴△BDC≌△GAD（SAS），
∴BC＝DG．
∴BC＝2DF．
【应用1】过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AD于点F，如图，
则BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD＝4．
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵OA＝OD，OF⊥AD，
∴∠AOF＝∠AOD．
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
∵∠OBE+∠OBE＝90°
∴∠OBE＝∠AOF．
在△BOE和△OAF中，
，
∴△BOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF＝4，
∴BE＝＝2．
∴BC＝2BE＝4；
【应用2】DG存在最小值，其最小值为a﹣b，理由：
取AE的中点F，连接FG，延长DF至点H，使FH＝DF，连接EH，AH，如图，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADC+BDE＝180°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠BDC＝∠ADC+∠BDC，
即∠EDC＝∠BDA．
在△EDC和△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA（SAS），
∴∠DEC＝∠DBA，
∴点E，D，GB四点共圆，
∴∠EGB＝∠EDB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵F为AE的中点，
∴GF＝AE＝a．
∵AF＝FE，DF＝FH，
∴四边形ADEH为平行四边形，
∴AD＝EH，AD∥EH，
∴∠HED+∠ADE＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠HED＝∠BDC．
∵DA＝DC，
∴EH＝DC．
在△EHD和△DCB中，
，
∴△EHD≌△DCB（SAS），
∴DH＝BC＝b，
∴DF＝DH＝b．
若∠BDC的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，DG的值最小为：FG﹣FD＝a﹣b．
7．阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（4分）
②若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，
由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2；（3分）
（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．
∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∴点E、B、G在同一直线上．
∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°
∴∠EDF＝∠EDG＝60°，
∵DE＝DE，DF＝DG，
∴△DEG≌△DEF，
∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．（4分）
8．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）阅读理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）问题解决：
解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．
9．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）
（2）AD的取值范围是
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分别为SAS，1＜AD＜6．
解决问题：如图3中，
解：延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，
，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，
∴FG＝FM，
∵BF＝4，
∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，
∴GF＝FM＝6．
10．问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
（2）AD的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，
∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．