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2024年中考数学专题训练 专题03 平行线四大模型（专项训练）(原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学专题训练 专题03 平行线四大模型（专项训练）(原卷版+解析），共22页。试卷主要包含了问题情境等内容，欢迎下载使用。
1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ．
5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为 度．
6．问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80
9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85°B．75°C．70°D．60°
12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（ ）度．
A．20°B．35°C．55°D．60°
13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝ 度．
15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
16．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
专题03 平行线四大模型（专项训练）
1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】D
【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α＝∠1+30°＝75°．
故选：D．
2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
【答案】B
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠BAD＝∠CAD＝55°，
∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故选：B．
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
【答案】B
【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：B．
4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ．
【答案】128°
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．
故答案为：128°．
5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为 度．
【答案】100
【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴DE∥CF；
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝40°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；
∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝100°．
故答案为：100．
6．问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，
“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，
（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；
又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；
（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．
则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，
∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，
即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD，
故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．
7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】C
【解答】解：如图：过点B作BC∥b，
∴∠1＝∠CBD＝15°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，
∵a∥b，
∴a∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝30°，
故选：C．
8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80
【答案】C
【解答】解：如图：延长EB′交AF于点G，
∵四边形ABHF是矩形，
∴∠B＝90°，AF∥BH，
由折叠得：
∠B＝∠A′B′E＝90°，∠BEB′＝2∠BED＝2∠β，
∴∠CB′G＝180°﹣∠A′B′E＝90°，
∵AF∥BH，
∴∠FGB′＝∠BEB′＝2∠β，
∵∠FGB′是△CGB′的一个外角，
∴∠FGB′＝∠GCB′+∠CB′G，
∴2∠β＝∠α+90°，
∵∠α＝∠β﹣20°，
∴2∠β＝∠β﹣20°+90°，
∴∠β＝70°，
故选：C．
9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：如图：
由题意得，∠3＝60°，
∵∠2＝50°，AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝50°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
故选：C．
11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85°B．75°C．70°D．60°
【答案】B
【解答】解：过点E作EF∥CO，
∴∠AEF＝∠A＝30°，
∵AB∥CO，
∴EF∥CO，
∴∠FEC＝∠C＝45°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝75°，
∴∠DEO＝∠AEC＝75°，
故选：B．
12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（ ）度．
A．20°B．35°C．55°D．60°
【答案】C
【解答】解：如图：过点C作CF∥AD，
由题意得：
∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，
∴CF∥EB，
∴∠FCB＝∠CBE＝20°，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝35°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°，
故选：C．
13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝ 度．
【答案】25
【解答】解：如图，
过直角顶点作l3∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥l3，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝25°．
故答案为：25．
15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
【答案】 270° n°．
【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MP，
∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，
∵∠M＝∠1+∠2＝90°，
∴∠MEB+∠MFD＝90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°；
（2）过点N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ，
∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，
∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，
∴∠ENF＝∠EMF＝n°．
故答案为：n°．
16．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，
∴∠APB＝15°+40°＝55°．
拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
【答案】A
【解答】解：过G作GM∥AB，
∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故选：A．
19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
【答案】D
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ．
5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为 度．
6．问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80
9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85°B．75°C．70°D．60°
12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（ ）度．
A．20°B．35°C．55°D．60°
13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝ 度．
15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
16．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
专题03 平行线四大模型（专项训练）
1．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】D
【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α＝∠1+30°＝75°．
故选：D．
2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
【答案】B
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠BAD＝∠CAD＝55°，
∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故选：B．
3．如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
【答案】B
【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故选：B．
4．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ．
【答案】128°
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．
故答案为：128°．
5．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为 度．
【答案】100
【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴DE∥CF；
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝40°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；
∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝100°．
故答案为：100．
6．问题情境
（1）如图①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，试探究直线AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB与CD的位置关系是AB∥CD．
理由如下：
过点E作EF∥AB（如图②所示），
所以∠B+∠BEF＝180°（依据1），
因为∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），
所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，
所以∠FED+∠D＝180°，
所以EF∥CD（依据2），
因为EF∥AB，
所以AB∥CD（依据3）．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”： ，
“依据2”： ，
“依据3”： ，
类比探究
（2）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
拓展延伸
（3）如图，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，
“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，
（2）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；
又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案为：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；
（3）如图，当∠B、∠BEF、∠EFD、∠D满足条件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD时，有AB∥CD．
理由：过点E、F分别作GE∥FH∥CD．
则∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，
∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，
即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，
∴∠B+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD，
故答案为：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．
7．如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】C
【解答】解：如图：过点B作BC∥b，
∴∠1＝∠CBD＝15°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，
∵a∥b，
∴a∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝30°，
故选：C．
8．将长方形纸条按如图方式折叠，折痕为DE，点A，B的对应点分别为A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，则∠β的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80
【答案】C
【解答】解：如图：延长EB′交AF于点G，
∵四边形ABHF是矩形，
∴∠B＝90°，AF∥BH，
由折叠得：
∠B＝∠A′B′E＝90°，∠BEB′＝2∠BED＝2∠β，
∴∠CB′G＝180°﹣∠A′B′E＝90°，
∵AF∥BH，
∴∠FGB′＝∠BEB′＝2∠β，
∵∠FGB′是△CGB′的一个外角，
∴∠FGB′＝∠GCB′+∠CB′G，
∴2∠β＝∠α+90°，
∵∠α＝∠β﹣20°，
∴2∠β＝∠β﹣20°+90°，
∴∠β＝70°，
故选：C．
9．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
10．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：如图：
由题意得，∠3＝60°，
∵∠2＝50°，AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝50°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
故选：C．
11．如图，一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OA交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85°B．75°C．70°D．60°
【答案】B
【解答】解：过点E作EF∥CO，
∴∠AEF＝∠A＝30°，
∵AB∥CO，
∴EF∥CO，
∴∠FEC＝∠C＝45°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝75°，
∴∠DEO＝∠AEC＝75°，
故选：B．
12．如图，船C在观测站A的北偏东35°方向上，在观测站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（ ）度．
A．20°B．35°C．55°D．60°
【答案】C
【解答】解：如图：过点C作CF∥AD，
由题意得：
∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，
∴CF∥EB，
∴∠FCB＝∠CBE＝20°，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝35°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°，
故选：C．
13．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
14．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝ 度．
【答案】25
【解答】解：如图，
过直角顶点作l3∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥l3，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝25°．
故答案为：25．
15.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
【答案】 270° n°．
【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MP，
∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，
∵∠M＝∠1+∠2＝90°，
∴∠MEB+∠MFD＝90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°；
（2）过点N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ，
∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，
∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，
∴∠ENF＝∠EMF＝n°．
故答案为：n°．
16．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，
∴∠APB＝15°+40°＝55°．
拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
17．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
18．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
【答案】A
【解答】解：过G作GM∥AB，
∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故选：A．
19．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
20．某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度
A．360B．180C．250D．270
【答案】D
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故选：D．
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