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2024年中考数学专题训练 专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学专题训练 专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）（原卷版+解析），共24页。试卷主要包含了感知等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．
2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为 ．
10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
12．问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝ ．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．
专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）
1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．
【解答】解：∵BE⊥AD，
∴∠EBD＝∠CAD＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
在△ACD和△BDE中，
，
∴△ACD≌△BDE（AAS），
∴BE＝AD，
∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，BE＝CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝CD，
∴BE＝CF＝AB，
∵BE+CE＝BC＝12，
∴AB+AB＝12，
∴AB＝8，
故答案为：8．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）DE＝BE﹣AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形，
∵点A的坐标是（1，2），
∴OE＝1，AE＝2，
∵CD⊥BD，AE⊥OE，
∴∠ODC＝∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，
∴DE＝CF＝2，
∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，
∴∠CBD＝∠CAF，
又∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（AAS），
∴BD＝AF，CD＝CF＝2，
∴AF＝4，
∴BD＝4，
∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，
∴B（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝ ．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于点H，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCH＝90°，
∵BH⊥CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠BCH＝90°，
∴∠HBC＝∠ACE，
在△BHC与△CEA中，
，
∴△BHC≌△CEA（AAS），
∴BH＝CE＝2，
．
故答案为：2．
7．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，
则∠BFC＝90°，
∵点A（0，5），点C（﹣2，0），
∴OA＝5，OC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，
∵∠COA＝90°，
∴∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠FCB，
∵∠COA＝∠BFC＝90°，
∴△CFB≌△AOC（AAS），
∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，
∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣2）；
（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，
则∠CBE＝90°＝∠ACM，
由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴CE＝AM，BE＝CM，
∵BN＝CM，
∴BE＝BN，
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBN＝45°，
又∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDN（SAS），
∴DE＝DN，
∵CD+DE＝CE，
∴CD+DN＝CE，
∴CD+DN＝AM；
（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：
如图3，过E作EG⊥x轴于G，
则∠EGC＝90°＝∠COA，
∴∠GEC+∠GCE＝90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，
∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，
∴∠GEC＝∠OCA，
∴△GEC≌△OCA（AAS），
∴GC＝OA＝5，GE＝OC，
∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，
∴OC＝CF，∠FCP＝90°，
∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，
又∵∠EPG＝∠FPC，
∴△EPG≌△FPC（AAS），
∴GP＝CP＝GC＝．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，点C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），
∴，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m＝，
把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，
∴点D的坐标为（1，8），
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C（0，6），D（1，8），
∴CD＝＝，
∴DQ＝CD＝，
∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q（1，m），P（0，n），
∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，
解得：m＝，
∴点Q的坐标为（1，）；
综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．
9．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为 ．
【解答】解：连接CC′交MN于点G，
由折叠得：
MN是CC′的垂直平分线，
∴∠MGC＝90°，CN＝C′N，
设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠CMN＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴△ABM∽△MCN，
∴＝，
∴＝，
∴CN＝，
∴CN＝C′N＝，
由折叠得：
CF＝CD＝2，∠CFE＝90°，
∴FN＝CF﹣CN＝2﹣＝，
∵∠BCC′+∠C′CF＝90°，∠BCC′+∠CMN＝90°，
∴∠C′CF＝∠CMN，
∴∠C′CF＝∠BAM，
∵∠B＝∠CFC′＝90°，
∴△ABM∽△CFC′，
∴＝，
∴＝，
∴FC′＝x，
在Rt△FNC′中，C′F2+FN2＝C′N2，
∴（x）2+（）2＝（）2，
∴x＝4或x＝，
∴BM的长为：4或，
故答案为：4或．
10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠可得：
AD＝AF＝5，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
∴tan∠DAE的值为．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，
又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS），
∴AE＝FD＝2，
∴FG＝，
∴EG＝FG＝，
故答案为：；
（2）证明：延长EA、NF交于点M，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∵AM∥CD，
∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，
∴△MAF≌△NDF（AAS），
∴MF＝FN，
∵EF⊥MG，
∴ME＝GE，
∴∠MEF＝∠FEN；
（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴，
∴MG2＝MN•MD．
12．问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝ ．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．
【解答】解：（1）四边形AEA'D是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
由折叠的性质得：∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，
∴∠A＝∠DA'E＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEA'D是矩形，
又∵AD＝AD'，
∴四边形AEA'D是正方形；
（2）①由折叠的性质得：DC＝DG，CF＝GF，∠CDF＝∠GDF＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC，BC＝AD＝6，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDF﹣∠GDF＝30°，
∴AG＝DG，
∴AG＝DC＝AB，
∴AG＝BG，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG2+AD2＝DG2，
即（DG）2+62＝DG2，
解得：DG＝4（负值已舍去），
∴AG＝2，
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF2+BG2＝GF2，
∵BG＝AG＝2，BF＝6﹣CF＝6﹣GF，
∴（6﹣GF）2+（2）2＝GF2，
解得：GF＝4，
∴S△DFG＝GF•DG＝×4×4＝8；
②由①得：∠GDF＝∠CDF＝30°，CD＝DG，
∴∠CDG＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CG＝DG，
∴CG＝4，
故答案为：4；
（3）过D'作PQ∥AD，交A'D于P，交AE于Q，如图3所示：
则PQ⊥A'D，PQ⊥AE，
∴PQ＝AD＝6，DP＝AQ，∠D'PN＝∠D'PA＝∠D'QA＝90°，
∵四边形AEA'D是正方形，
∴A'D＝AD＝6，
∵DN：A'N＝1：2，
∴DN＝2，A'N＝4，
设D'P＝x，则D'Q＝6﹣x，
由折叠的性质得：DN＝D'N，∠AD'N＝∠D＝90°，
∴∠PD'N+∠AD'Q＝90°，
∵∠PD'N+∠D'NP＝90°，
∴∠AD'Q＝∠D'NP，
∴△D'NP∽△AD'Q，
∴＝＝，
即＝＝＝，
解得：AQ＝3x，NP＝2﹣x，
∵DP＝AQ，
∴2+2﹣x＝3x，
解得：x＝，
∴DP＝AQ＝3x＝，
∴A'P＝A'D﹣DP＝6﹣＝，
∴A'D'＝＝＝．
1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．
2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为 ．
10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
12．问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝ ．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．
专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）
1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．
【解答】解：∵BE⊥AD，
∴∠EBD＝∠CAD＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
在△ACD和△BDE中，
，
∴△ACD≌△BDE（AAS），
∴BE＝AD，
∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，BE＝CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝CD，
∴BE＝CF＝AB，
∵BE+CE＝BC＝12，
∴AB+AB＝12，
∴AB＝8，
故答案为：8．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）DE＝BE﹣AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形，
∵点A的坐标是（1，2），
∴OE＝1，AE＝2，
∵CD⊥BD，AE⊥OE，
∴∠ODC＝∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，
∴DE＝CF＝2，
∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，
∴∠CBD＝∠CAF，
又∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（AAS），
∴BD＝AF，CD＝CF＝2，
∴AF＝4，
∴BD＝4，
∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，
∴B（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝ ．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于点H，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCH＝90°，
∵BH⊥CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠BCH＝90°，
∴∠HBC＝∠ACE，
在△BHC与△CEA中，
，
∴△BHC≌△CEA（AAS），
∴BH＝CE＝2，
．
故答案为：2．
7．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，
则∠BFC＝90°，
∵点A（0，5），点C（﹣2，0），
∴OA＝5，OC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，
∵∠COA＝90°，
∴∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠FCB，
∵∠COA＝∠BFC＝90°，
∴△CFB≌△AOC（AAS），
∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，
∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣2）；
（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，
则∠CBE＝90°＝∠ACM，
由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴CE＝AM，BE＝CM，
∵BN＝CM，
∴BE＝BN，
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBN＝45°，
又∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDN（SAS），
∴DE＝DN，
∵CD+DE＝CE，
∴CD+DN＝CE，
∴CD+DN＝AM；
（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：
如图3，过E作EG⊥x轴于G，
则∠EGC＝90°＝∠COA，
∴∠GEC+∠GCE＝90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，
∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，
∴∠GEC＝∠OCA，
∴△GEC≌△OCA（AAS），
∴GC＝OA＝5，GE＝OC，
∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，
∴OC＝CF，∠FCP＝90°，
∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，
又∵∠EPG＝∠FPC，
∴△EPG≌△FPC（AAS），
∴GP＝CP＝GC＝．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，点C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），
∴，
解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m＝，
把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，
∴点D的坐标为（1，8），
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C（0，6），D（1，8），
∴CD＝＝，
∴DQ＝CD＝，
∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q（1，m），P（0，n），
∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，
解得：m＝，
∴点Q的坐标为（1，）；
综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．
9．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为 ．
【解答】解：连接CC′交MN于点G，
由折叠得：
MN是CC′的垂直平分线，
∴∠MGC＝90°，CN＝C′N，
设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠CMN＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴△ABM∽△MCN，
∴＝，
∴＝，
∴CN＝，
∴CN＝C′N＝，
由折叠得：
CF＝CD＝2，∠CFE＝90°，
∴FN＝CF﹣CN＝2﹣＝，
∵∠BCC′+∠C′CF＝90°，∠BCC′+∠CMN＝90°，
∴∠C′CF＝∠CMN，
∴∠C′CF＝∠BAM，
∵∠B＝∠CFC′＝90°，
∴△ABM∽△CFC′，
∴＝，
∴＝，
∴FC′＝x，
在Rt△FNC′中，C′F2+FN2＝C′N2，
∴（x）2+（）2＝（）2，
∴x＝4或x＝，
∴BM的长为：4或，
故答案为：4或．
10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠可得：
AD＝AF＝5，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
∴tan∠DAE的值为．
11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝∠DFG，
又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，
∴△AEF≌△DFG（AAS），
∴AE＝FD＝2，
∴FG＝，
∴EG＝FG＝，
故答案为：；
（2）证明：延长EA、NF交于点M，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∵AM∥CD，
∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，
∴△MAF≌△NDF（AAS），
∴MF＝FN，
∵EF⊥MG，
∴ME＝GE，
∴∠MEF＝∠FEN；
（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴，
∴MG2＝MN•MD．
12．问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝ ．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．
【解答】解：（1）四边形AEA'D是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
由折叠的性质得：∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，
∴∠A＝∠DA'E＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEA'D是矩形，
又∵AD＝AD'，
∴四边形AEA'D是正方形；
（2）①由折叠的性质得：DC＝DG，CF＝GF，∠CDF＝∠GDF＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC，BC＝AD＝6，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDF﹣∠GDF＝30°，
∴AG＝DG，
∴AG＝DC＝AB，
∴AG＝BG，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG2+AD2＝DG2，
即（DG）2+62＝DG2，
解得：DG＝4（负值已舍去），
∴AG＝2，
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF2+BG2＝GF2，
∵BG＝AG＝2，BF＝6﹣CF＝6﹣GF，
∴（6﹣GF）2+（2）2＝GF2，
解得：GF＝4，
∴S△DFG＝GF•DG＝×4×4＝8；
②由①得：∠GDF＝∠CDF＝30°，CD＝DG，
∴∠CDG＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CG＝DG，
∴CG＝4，
故答案为：4；
（3）过D'作PQ∥AD，交A'D于P，交AE于Q，如图3所示：
则PQ⊥A'D，PQ⊥AE，
∴PQ＝AD＝6，DP＝AQ，∠D'PN＝∠D'PA＝∠D'QA＝90°，
∵四边形AEA'D是正方形，
∴A'D＝AD＝6，
∵DN：A'N＝1：2，
∴DN＝2，A'N＝4，
设D'P＝x，则D'Q＝6﹣x，
由折叠的性质得：DN＝D'N，∠AD'N＝∠D＝90°，
∴∠PD'N+∠AD'Q＝90°，
∵∠PD'N+∠D'NP＝90°，
∴∠AD'Q＝∠D'NP，
∴△D'NP∽△AD'Q，
∴＝＝，
即＝＝＝，
解得：AQ＝3x，NP＝2﹣x，
∵DP＝AQ，
∴2+2﹣x＝3x，
解得：x＝，
∴DP＝AQ＝3x＝，
∴A'P＝A'D﹣DP＝6﹣＝，
∴A'D'＝＝＝．
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