2024年中考数学专题训练 专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读），共36页。

专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理
【知识点梳理】
类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；
例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。
还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。
另一种是所求角的边不与坐标轴平行。
例3:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。
分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF =∠AEC或是∠DCF =∠AEC时，先来讨论∠CDF =∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF =∠AEC 时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。
或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D 的坐标。
当∠DCF =∠AEC 时,可用同样方法求出D点坐标。
类型三：二倍角或半角的存在性问题
.二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
半角的构造方法
如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：
方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。
方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。

【典例分析】
【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】
【典例1】（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【变式1】（2022秋•大连月考）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线上，∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．
【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】
【典例2】（2022秋•大连月考）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2】（2022秋•瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若∠EAC＝∠DAP，求点P的坐标．
【类型三：二倍角或半角的存在性问题】
【典例3】（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．
【变式3-1】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.
（1）直接写出a的值和点B的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；
（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【类型四：角度等于定值问题】
【典例4】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【变式4-1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【变式4-2】（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
【变式4-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理
【知识点梳理】
类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；
例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。
还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。
另一种是所求角的边不与坐标轴平行。
例3:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。
分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF =∠AEC或是∠DCF =∠AEC时，先来讨论∠CDF =∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF =∠AEC 时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。
或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D 的坐标。
当∠DCF =∠AEC 时,可用同样方法求出D点坐标。
类型三：二倍角或半角的存在性问题
.二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
半角的构造方法
如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：
方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。
方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。

【典例分析】
【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】
【典例1】（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，
设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
【变式1】（2022秋•大连月考）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在抛物线上，∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
将A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）当BP∥x轴时，∠PBA＝∠BAO，
∴P（2，2）；
设BP与x轴交于点Q，
∵∠PBA＝∠BAO，
∴BQ＝AQ，
在Rt△BOQ中，BQ2＝OB2+OQ2＝4+（4﹣BQ）2，
解得BQ＝，
∴AQ＝，OQ＝，
∴Q（，0），
设直线BQ的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，0）或（，﹣）．
【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】
【典例2】（2022秋•大连月考）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）分两种情况：
设M（x，﹣x2﹣2x+3），
①如图，当CM交x轴于G时，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACG＝∠OCB，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠BCM＝45°，
∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB＝∠BGC，
∵∠CBG＝∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴，
∵OB＝1，OC＝3，
∴BC＝，
设G（﹣t，0），
∴，
∴t＝，
∴G（﹣，0），
同理可求得CG的解析式为：y＝2x+3，
则，
∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣5）；
②如图，当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，
∵∠OAC＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AP＝BP＝＝2，
∵AC＝＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACB＝∠OCM，
∵∠BPC＝∠COA＝90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴，
∴，
∴NO＝6，
∴N（﹣6，0），
同理可得NC的解析式为：y＝x+3，
联立方程组得：，
解得：x1＝0，x2＝﹣，
因为点M在抛物线上，所以当x＝﹣时，y＝，
∴M（﹣，），
综上所述，存在点M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．
【变式2】（2022秋•瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若∠EAC＝∠DAP，求点P的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝﹣3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3；
（2）过A作AC的垂线，交DE于G，交抛物线于P，如图：
由y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1可得顶点D（﹣2，1），对称轴是直线x＝﹣2，
在y＝﹣x﹣3中，令x＝﹣2得y＝﹣1，
∴E（﹣2，﹣1），F（﹣2，0），
∵A（﹣1，0），
∴AF＝1，DE2＝（1+1）2＝4，AD2＝（﹣1+2）2+（0﹣1）2＝2，AE2＝（﹣2+1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°＝∠CAP，
∴∠CAE＝∠DAP，即P是满足条件的点，
∵∠FAG＝90°﹣∠OAC＝∠OCA，∠GFA＝90°＝∠AOC，
∴△FAG∽△OCA，
∴＝，即＝，
∴FG＝，
∴G（﹣2，﹣），
由G（﹣2，﹣），A（﹣1，0）可得直线AG解析式为y＝x+，
解得或，
∴P的坐标为（﹣，﹣）．
【类型三：二倍角或半角的存在性问题】
【典例3】（2022•惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若∠BAE＝2∠ACB，求点E的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
将点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2+4x+3；
（2）点D在直线BC上方时，过点D作DP⊥x轴交AC于点P，
设D（t，t2+4t+3），则P（t，t+3），
∴DP＝t2+4t+3﹣t﹣3＝t2+3t，
∴S△BCD＝S△CPD﹣S△PBD＝×DP×（﹣t+3+t）＝（t2+3t）
∵△BCD的面积为6，
∴（t2+3t）＝6，
∴t＝1或t＝﹣4，
∴D（1，8）或D（﹣4，3）；
当点D在直线BC下方时，
S△BCD＝S△CPD+S△PBD＝×DP×3＝（﹣t2﹣3t）＝6，
∴（t2+3t）＝﹣6，
∴此时t不存在，
综上所述：D点坐标为（1，8）或（﹣4，3）；
（3）设E（m，m2+4m+3），
过点A作AG⊥BC交于点G，在BC上截取HC＝HA，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，
∴∠CBO＝45°，
∵x2+4x+3＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝2，
在Rt△ABG中，BG＝AG＝，
∴CG＝2，
∵HC＝HA，
∴∠GHA＝2∠ACB，
在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，
∴HA2＝（2﹣HA）2+2，
解得HA＝，
∴HG＝，
∴tan∠GHA＝＝＝，
∵∠BAE＝2∠ACB，
∴∠BAE＝∠GHA，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．
【变式3-1】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.
（1）直接写出a的值和点B的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；
（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】（1）；B（3，0）
（2）A（—5，0）、M（—3，0）、N（3，0）
设点M到直线PB的距离为h，则==，∴h=
（3）存在，理由：
设，如图，过点B作的平分线BH交y轴于点H，过点H作HG⊥PB于点G，设OH=m，则HG=m，PH=4—m，PG=PB—BG=2，
在Rt△PGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4—m）2，解得：m=
∴tan∠HBO=，∴故直线AD的表达式为：①
同理直线PB的表达式为：②
联立①②并解得：，∴点D（）.
【类型四：角度等于定值问题】
【典例4】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
【变式4-1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；
（2）如图中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），
设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
【变式4-2】（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；
（2）（Ⅰ）当点Q在MD之间时，
作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PER为等腰直角三角形，
当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切，
∵点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0），
则ME＝3，ED＝4﹣1＝3，则MD＝3，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD•RQ×ED•yR+×ME•RH，
∴×3×3＝×3×m+×3×m×3×m，解得：m＝，
故点P（1，）；
（Ⅱ）当点Q与点D重合时，
由点M、E、D的坐标知，ME＝ED，即∠MDE＝45°；
①当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P（1，3），
②当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，﹣3），
综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）．
【变式4-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝，
在对称轴上取点M使QM＝MB，
∴∠EMB＝2∠MQB，
∵∠QBA＝75°，
∴∠MQB＝15°，
∴∠EMB＝30°，
∴MB＝2BE，
∵B（4，0），E（，0），
∴BE＝，
∴BM＝QM＝7，ME＝，
∴QE＝7+，
∴Q（，7+）；
Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；
综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．