2024年中考数学专题训练 专题05 定角定高（知识解读）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题05 定角定高（知识解读），共16页。

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。
此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.
【方法技巧】
1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
【典例分析】
【典例1】辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 ．
【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
【变式1-4】（2019•新城区校级一模）问题提出：
如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 ．
问题探究：
如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
专题05 定角定高（知识解读）
【专题说明】
定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。
此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.
【方法技巧】
1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
【典例分析】
【典例1】辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝OA＝x，AE＝x，
∵OC+OE≥CD，
∴3x≥4，
∴x≥，
∴x的最小值为，
∵AB＝2x，
∴AB的最小值为．
（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），
∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DCB＝135°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，
∴CD＝DG＝6，
∴CG＝CD＝12，
∴AB＝GB＝12+6，
由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，
设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，
∴r+r＝6，
∴r＝6（2﹣），
∴EH＝r＝12（2﹣），
∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，
∴BC＝r，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r≥4，
解得：r≥，
∴BC≥，
∴，
∴△ABC的面积的最小值为，
故答案为：．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为 ．
【答案】12+12
【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA，延长BC到F，使得CD＝CA，连接AE，AF，作△AEF的外接圆⊙O，连接OE，OF，过点O作OJ⊥EF于点J，交⊙O于点T．
∵BA＝BE，CA＝CF，
∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠EOF＝90°，
∵OJ⊥EF，
∴EJ＝JF，
∴OJ＝EF，
设OE＝OF＝r，则EF＝r，OJ＝r，
∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，
∴EF最小时，△ABC的周长最小，
∵AD⊥BC，
∴AD+OJ≤OT，
∴6+r≤r，
∴r≥12+6，
∴EF≥12+12，
∴AB+BC+AC≥12+12，
∴△ABC的周长的最小值为12+12，
故答案为：12+12．
【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为 ．
【答案】36﹣36
【解答】解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴FH＝EF，
∴S△AEF＝S△AFH，
设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，
在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，
∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
化简得：y＝＝﹣6+，
∴S△AEF＝S△AFH＝FH•AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，
∴当＝时，x＝6﹣6，S△AEF的最小值为36﹣36．
故答案为：36﹣36．
【变式1-4】（2019•新城区校级一模）问题提出：
如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 ．
问题探究：
如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝10，
∴OB＝sin45°×BC＝，
故答案为：5．
（2）EF＝BE+DF，理由如下：
如图2，延长EB，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE＝DF+BE，
（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BG＝DF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABG＝135°，
∴∠ABG＝∠ADF，
又∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，
∴EF边上的高AK＝4，
画△AEF的外接圆⊙O，作OM⊥EF于M，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOM＝60°，
设OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，
∵OM+OA≥AK，
∴x+2x≥4，
∴x≥，
∴EF的最小值为2×，
∴S△AEF的最小值为．