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    2024年中考数学专题训练 专题03 阿氏圆(知识解读)
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    2024年中考数学专题训练 专题03 阿氏圆(知识解读)

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    这是一份2024年中考数学专题训练 专题03 阿氏圆(知识解读),共16页。

    “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
    (1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
    (2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题;
    本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
    【方法技巧】
    阿氏圆问题
    问题:求解“”类加权线段和最小值
    方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
    ②造:根据线段比,构造母子型相似
    ③算:根据母子型结论,计算定点位置
    ④转:“”转化为“”问题
    关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
    ②系数小于1:内部构造母子型
    ③系数大于1:外部构造母子型
    【典例分析】
    【典例1】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
    已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
    阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
    【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点,且OP=r,设=k,求PC+kPD的最小值.
    阿氏圆的关键解题步骤:
    第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;
    第二步:证明kPD=PM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.
    下面是该题的解答过程(部分):
    解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
    又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.
    任务:
    (1)将以上解答过程补充完整.
    (2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点,满足CD=2,利用(1)中的结论,请直接写出AD+BD的最小值.
    【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=9,⊙B的半径为3,点P是⊙B上一点,连接AP,CP,则AP+CP的最小值为 .
    【典例2】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,C,D分别为OA,OB的中点,点P是上一点,则2PC+PD的最小值为 .
    【变式2-1】如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD=5,P是上一动点,则PC+PD的最小值为 .
    【变式2-2】如图,△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,连接CD,∠BAD的平分线交CD于点E,点F为CD上一点,且DF=2CF,连接BF.
    (1)如图①,当θ=60°时,求EF的长;
    (2)如图②,连接AF,求BF+AF的最小值.
    专题03 阿氏圆(知识解读)
    【专题说明】
    “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
    (1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
    (2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题;
    本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
    【方法技巧】
    阿氏圆问题
    问题:求解“”类加权线段和最小值
    方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
    ②造:根据线段比,构造母子型相似
    ③算:根据母子型结论,计算定点位置
    ④转:“”转化为“”问题
    关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
    ②系数小于1:内部构造母子型
    ③系数大于1:外部构造母子型
    【典例分析】
    【典例1】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
    已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
    阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
    【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点,且OP=r,设=k,求PC+kPD的最小值.
    阿氏圆的关键解题步骤:
    第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;
    第二步:证明kPD=PM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.
    下面是该题的解答过程(部分):
    解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
    又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.
    任务:
    (1)将以上解答过程补充完整.
    (2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点,满足CD=2,利用(1)中的结论,请直接写出AD+BD的最小值.
    【解答】解(1)在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
    又∵∠POD=∠MOP,
    ∴△POM∽△DOP.
    ∴MP:PD=k,
    ∴MP=kPD,
    ∴PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时,PC+MP有最小值,即C,P,M三点共线时有最小值,
    利用勾股定理得.
    (2)∵AC=m=4,=,在CB上取一点M,使得CM=CD=,
    ∴的最小值为.
    【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=9,⊙B的半径为3,点P是⊙B上一点,连接AP,CP,则AP+CP的最小值为 .
    【答案】
    【解答】解:连接BP,在BC上截取BQ=1,连接PQ,AQ,
    ∴,,
    ∴,
    ∵∠PBQ=∠CBP,
    ∴△BPQ∽△BCP,
    ∴,
    ∴PQ=CP,
    ∴AP+CP=AP+PQ≥AQ,
    当A、P、Q三点依次在同一直线上时,AP+CP=AQ=的值最小,
    故答案为:.
    【典例2】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,C,D分别为OA,OB的中点,点P是上一点,则2PC+PD的最小值为 .
    【答案】2.
    【解答】解:如图,延长OA使AE=OA,连接ED,EP,OP,
    ∵AO=OB=4,C,D分别是OA,OB的中点,
    ∴OE=8,OP=4,OD=OC=2,
    ∴==,且∠COP=∠EOP,
    ∴△OPE∽△OCP,
    ∴==,
    ∴EP=2DC,
    ∴2PC+PD=PE+PD,
    ∴当点E,点P,点D三点共线时,2PC+PD的值最小,
    ∴2PC+PD最小值==2.
    【变式2-1】如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD=5,P是上一动点,则PC+PD的最小值为 .
    【答案】
    【解答】解:如图,延长OA使AE=OB,连接EC,EP,OP,
    ∵AO=OB=6,C分别是OA的中点,
    ∴OE=12,OP=6,OC=AC=3,
    ∴==,且∠COP=∠EOP
    ∴△OPE∽△OCP
    ∴==,
    ∴EP=2PC,
    ∴PC+PD=(2PC+PD)=(PD+PE),
    ∴当点E,点P,点D三点共线时,PC+PD的值最小,
    ∵DE===13,
    ∴PD+PE≥DE=13,
    ∴PD+PE的最小值为13,
    ∴PC+PD的值最小值为.
    故答案为:.
    【变式2-2】如图,△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,连接CD,∠BAD的平分线交CD于点E,点F为CD上一点,且DF=2CF,连接BF.
    (1)如图①,当θ=60°时,求EF的长;
    (2)如图②,连接AF,求BF+AF的最小值.
    【解答】解:(1)∵将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,如图,
    ∴∠BAD=θ,AB=AD,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=60°,
    ∴AC=AD,
    ∴∠ADC=∠ACD,
    ∵θ=60°,
    ∴∠DAC=120°
    ∴∠ADC=∠ACD=30°,
    ∵AE平分∠BAD,
    ∴∠DAE=∠BAE=30°,
    ∴∠EDA=∠EAD,∠CAE=90°,
    ∴DE=AE=,
    ∵AB=AC=6,
    ∴DE=AE=AC•tan30°=2,
    ∴CE=4,
    ∴CD=CE+DE=6,
    ∵DF=2CF,
    ∴CF=CD=2,
    ∴EF=CE﹣CF=2;
    (2)如图,过F作FH∥AD,交AC于H,取AC的中点M,连接FM,则AM=CM=3,
    ∴△CFH∽△CDA,
    ∴,
    ∵DF=2FC,
    ∴,
    ∴CH=FH=2,
    ∴MH=3﹣2=1,
    ∵,,
    ∴,
    ∵∠FHM=∠AHF,
    ∴△FHM∽△AHF,
    ∴,
    ∴FM=AF,
    ∴当B、F、M三点共线时,BF+FM=BF+AF的长最小,如图,此时BM⊥AC,
    ∴BM=,
    ∴BF+AF的最小值为3.
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